Question

11．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2的正三角形，頂點A₁在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，AA₁與AB的夾角為45°
（1）求證：AA₁⊥平面A₁BC；
（2）側(cè)面BB₁C₁C是矩形；
（3）求棱柱的側(cè)面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可得A₁A=A₁B=A₁C，又∠A₁AB=45°，可得∠A₁BA═∠A₁CA═∠A₁AC═45°，即證明AA₁⊥A₁B，AA₁⊥A₁C，進而即可判定AA₁⊥平面A₁BC．
（2）連AO并延長交BC于D，證明AA₁⊥BC，由BB₁∥AA₁，可知BB₁⊥BC，即可證明BCC₁B₁是矩形，
（3）在Rt△AA₁B中，可求AA₁=A₁B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，BC=2，利用三角形面積公式，矩形面積公式即可計算得解S_側(cè)=2S${\;}_{{AA}_{1}{B}_{1}B}$+S${\;}_{BC{C}_{1}{B}_{1}}$的值．

解答 解：（1）如圖，∵A₁在底面ABC上的射影O為正△ABC的中心，
∴A₁A=A₁B=A₁C．
    又∵∠A₁AB=45°，
∴∠A₁BA═∠A₁CA═∠A₁AC═45°，
∴∠AA₁B═∠AA₁C═90°，即AA₁⊥A₁B，AA₁⊥A₁C，
又A₁B∩A₁C═A₁，
∴AA₁⊥平面A₁BC．
（2）連AO并延長交BC于D，由條件知：AD⊥BC，AO為AA₁在底面ABC的射影，
∴AA₁⊥BC．
∵BB₁∥AA₁，
∴BB₁⊥BC，
∴BCC₁B₁是矩形，
（3）在Rt△AA₁B中，AA₁=A₁B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，BC=2，
∴S${\;}_{{AA}_{1}{B}_{1}B}$=2S${\;}_{△A{A}_{1}B}$=AA₁•ABsin45°=2，S${\;}_{BC{C}_{1}{B}_{1}}$=2$\sqrt{2}$，
∴S_側(cè)=2S${\;}_{{AA}_{1}{B}_{1}B}$+S${\;}_{BC{C}_{1}{B}_{1}}$=4+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線與平面垂直的判定以及求棱柱的側(cè)面積等問題，解題時應(yīng)畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化計算方法，屬于中檔題．