Question

已知F₁、F₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右焦點，M為橢圓上的動點，且

MF1

•

MF2

的最大值為1，最小值為-2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(-

6

5

，0)作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M，N兩點，A為橢圓的左頂點．試判斷∠MAN是否為直角，并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,壓軸題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設M（x'，y'），化簡

MF1

•

MF2

=

a2-b2

a2

x'²+2b²-a²（-a≤x≤a），從而求最值，進而求橢圓方程；
（2）設直線MN的方程為x=ky-6并與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理求

AM

•

AN

的值，從而說明是直角．

解答： 解：（1）設M（x'，y'），
則y'²=b²-

b2

a2

x'²，

MF1

•

MF2

=

a2-b2

a2

x'²+2b²-a²（-a≤x≤a），
則當x'=0時，

MF1

•

MF2

取得最小值2b²-a²=-2，
當x'=±a時，

MF1

•

MF2

取得最大值b²=1，
∴a²=4，
故橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設直線MN的方程為x=ky-

6

5

，
聯(lián)立方程組可得，

x=ky- 6 5 x2 4 +y2=1

化簡得：（k²+4）y²-2.4ky-

64

25

=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則y₁+y₂=

12k

5(k2+4)

，y₁y₂=-

64

25(k2+4)

，
又A（-2，0），

AM

•

AN

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=（k²+1）y₁y₂+

4

5

k（y₁+y₂）+

16

25

=
=-（k²+1）

64

25(k2+4)

+

4

5

k

12k

5(k2+4)

+

16

25

=0，
所以∠MAN為直角．

點評：本題考查了圓錐曲線方程的求法及直線與圓錐曲線的位置關系應用，同時考查了向量的應用，屬于難題．