如圖,點為坐標原點,直線經(jīng)過拋物線的焦點.

(Ⅰ)若點到直線的距離為,求直線的方程;

(Ⅱ)設(shè)點A是直線與拋物線在第一象限的交點.點B是以點為圓心,為半徑的圓與軸負半軸的交點.試判斷直線與拋物線的位置關(guān)系,并給出證明.

 

【答案】

 本小題考查拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等.滿分12分.

解法一:(Ⅰ)拋物線的焦點,………………………………………1分

當直線的斜率不存在時,即不符合題意. ……………………………2分

當直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為:,即…………3分

所以,,解得:…………5分

故直線的方程為:,即.…………6分

(Ⅱ)直線與拋物線相切,證明如下:…………7分

(法一):設(shè),則.…………8分

因為所以.…………9分

所以直線的方程為:,整理得:

把方程(1)代入得:,…………10分

,

所以直線與拋物線相切.…………12分

解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)直線與拋物線相切,證明如下:…………7分

設(shè),則.…………8分

設(shè)圓的方程為:,…………9分

時,得,

因為點B在軸負半軸,所以.…………9分

所以直線的方程為,整理得:

把方程(1)代入得:,…………10分

,

所以直線與拋物線相切.…………12分

 

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,O為坐標原點,點A,B,C均在⊙O上,點A(
3
5
4
5
)
,點B在第二象限,點C(1,0).
(Ⅰ)設(shè)∠COA=θ,求sin2θ的值;
(Ⅱ)若△AOB為等邊三角形,求點B的坐標.

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精英家教網(wǎng)如圖,O為坐標原點,過點P(2,0)且斜率為k的直線l交拋物線y2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點.
(1)寫出直線l的方程;
(2)求x1x2與y1y2的值;
(3)求證:OM⊥ON.

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如圖,O為坐標原點,點F為拋物線C1:x2=2py(p>0)的焦點,且拋物線C1上點P處的切線與圓C2:x2+y2=1相切于點Q.
(Ⅰ)當直線PQ的方程為x-y-
2
=0時,求拋物線C1的方程;
(Ⅱ)當正數(shù)p變化時,記S1,S2分別為△FPQ,△FOQ的面積,求
S1
S2
的最小值.

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如圖,點為坐標原點,直線經(jīng)過拋物線的焦點

(Ⅰ)若點到直線的距離為,求直線的方程;

       (Ⅱ)設(shè)點A是直線與拋物線在第一象限的交點.點B是以點為圓心,為半徑的圓與軸負半軸的交點.試判斷直線與拋物線的位置關(guān)系,并給出證明.

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