Question

（08年黃岡中學(xué)二模理）如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)（非x軸）交橢圓于M、N兩點(diǎn)，右準(zhǔn)線(xiàn)交x軸于點(diǎn)K，左頂點(diǎn)為A.

（1）求證：KF平分∠MKN；

（2）直線(xiàn)AM、AN分別交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)P、Q，設(shè)直線(xiàn)MN的傾斜角為，試用表示線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度|PQ|，并求|PQ|的最小值.

 

 

Answer 1

解析：（1）法一：作MM₁⊥于M₁，

NN₁⊥于N₁，則，

又由橢圓的第二定義有

∴∴∠KMM₁=∠KNN₁，即∠MKF=∠NKF，

∴KF平分∠MKN

法二：設(shè)直線(xiàn)MN的方程為.

設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為, 由

∴

設(shè)KM和KN的斜率分別為，顯然只需證即可.

∵  ∴

而

即 得證.

（2）由A，M，P三點(diǎn)共線(xiàn)可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為

由A，N，Q三點(diǎn)共線(xiàn)可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)直線(xiàn)MN的方程為.由

∴ 

則：

 

又直線(xiàn)MN的傾斜角為，則，∴

∴時(shí)，