Question

9．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f（x）=e^x（x+1），給出下列命題：
①當x＞0時，f（x）=-e^-x（x-1）；
②函數f（x）有2個零點；
③f（x）＜0的解集為（-∞，-1）∪（0，1），
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．其中正確命題的個數是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①根據f（x）為奇函數，可設x＞0，從而有-x＜0，從而可求出f（x）=e^-x（x-1），
②從而可看出-1，1，0都是f（x）的零點，這便得出①②錯誤，
③而由f（x）解析式便可解出f（x）＜0的解集，從而判斷出③的正誤，
④可分別對x＜0和x＞0時的f（x）求導數，根據導數符號可判斷f（x）的單調性，根據單調性即可求出f（x）的值域，這樣便可得出?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

解答 解：①f（x）為R上的奇函數，設x＞0，-x＜0，則：f（-x）=e^-x（-x+1）=-f（x）；
∴f（x）=e^-x（x-1）；
∴故①錯誤，
②∵f（-1）=0，f（1）=0；
又f（0）=0；
∴f（x）有3個零點；
故②錯誤，
③當x＜0時，由f（x）=e^x（x+1）＜0，得x+1＜0；
即x＜-1，
當x＞0時，由f（x）=e^-x（x-1）＜0，得x-1＜0；
得0＜x＜1，
∴f（x）＜0的解集為（0，1）∪（-∞，-1）；
故③正確，
④當x＜0時，f′（x）=e^x（x+2）；
∴x＜-2時，f′（x）＜0，-2＜x＜0時，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（-2，0）上單調遞增；
∴x=-2時，f（x）取最小值-e^-2，且x＜-2時，f（x）＜0；
∴f（x）＜f（0）=1；
即-e^-2＜f（x）＜1；
當x＞0時，f′（x）=e^-x（2-x）；
∴f（x）在（0，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減；
x=2時，f（x）取最大值e^-2，且x＞2時，f（x）＞0；
∴f（x）＞f（0）=-1；
∴-1＜f（x）≤e^-2；
∴f（x）的值域為（-1，e^-2]∪[-e^-2，1）；
∴?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2；
故④正確，
∴正確的命題為③④．
故選：C

點評 本題主要考查與函數性質有關的命題的真假判斷，結合函數奇偶性的性質求出函數的解析式，以及利用分類討論的數學思想是解決本題的關鍵．