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9.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,當x<0時,f(x)=ex(x+1),給出下列命題:
①當x>0時,f(x)=-e-x(x-1);
②函數f(x)有2個零點;
③f(x)<0的解集為(-∞,-1)∪(0,1),
④?x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2.其中正確命題的個數是( �。�
A.4B.3C.2D.1

分析 ①根據f(x)為奇函數,可設x>0,從而有-x<0,從而可求出f(x)=e-x(x-1),
②從而可看出-1,1,0都是f(x)的零點,這便得出①②錯誤,
③而由f(x)解析式便可解出f(x)<0的解集,從而判斷出③的正誤,
④可分別對x<0和x>0時的f(x)求導數,根據導數符號可判斷f(x)的單調性,根據單調性即可求出f(x)的值域,這樣便可得出?x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2.

解答 解:①f(x)為R上的奇函數,設x>0,-x<0,則:f(-x)=e-x(-x+1)=-f(x);
∴f(x)=e-x(x-1);
∴故①錯誤,
②∵f(-1)=0,f(1)=0;
又f(0)=0;
∴f(x)有3個零點;
故②錯誤,
③當x<0時,由f(x)=ex(x+1)<0,得x+1<0;
即x<-1,
當x>0時,由f(x)=e-x(x-1)<0,得x-1<0;
得0<x<1,
∴f(x)<0的解集為(0,1)∪(-∞,-1);
故③正確,
④當x<0時,f′(x)=ex(x+2);
∴x<-2時,f′(x)<0,-2<x<0時,f′(x)>0;
∴f(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(-2,0)上單調遞增;
∴x=-2時,f(x)取最小值-e-2,且x<-2時,f(x)<0;
∴f(x)<f(0)=1;
即-e-2<f(x)<1;
當x>0時,f′(x)=e-x(2-x);
∴f(x)在(0,2)上單調遞增,在(2,+∞)上單調遞減;
x=2時,f(x)取最大值e-2,且x>2時,f(x)>0;
∴f(x)>f(0)=-1;
∴-1<f(x)≤e-2;
∴f(x)的值域為(-1,e-2]∪[-e-2,1);
∴?x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2;
故④正確,
∴正確的命題為③④.
故選:C

點評 本題主要考查與函數性質有關的命題的真假判斷,結合函數奇偶性的性質求出函數的解析式,以及利用分類討論的數學思想是解決本題的關鍵.

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