Question

9．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=e^x（x+1），給出下列命題：
①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-e^-x（x-1）；
②函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；
③f（x）＜0的解集為（-∞，-1）∪（0，1），
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可設(shè)x＞0，從而有-x＜0，從而可求出f（x）=e^-x（x-1），
②從而可看出-1，1，0都是f（x）的零點(diǎn)，這便得出①②錯(cuò)誤，
③而由f（x）解析式便可解出f（x）＜0的解集，從而判斷出③的正誤，
④可分別對(duì)x＜0和x＞0時(shí)的f（x）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)可判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出f（x）的值域，這樣便可得出?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

解答 解：①f（x）為R上的奇函數(shù)，設(shè)x＞0，-x＜0，則：f（-x）=e^-x（-x+1）=-f（x）；
∴f（x）=e^-x（x-1）；
∴故①錯(cuò)誤，
②∵f（-1）=0，f（1）=0；
又f（0）=0；
∴f（x）有3個(gè)零點(diǎn)；
故②錯(cuò)誤，
③當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=e^x（x+1）＜0，得x+1＜0；
即x＜-1，
當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）=e^-x（x-1）＜0，得x-1＜0；
得0＜x＜1，
∴f（x）＜0的解集為（0，1）∪（-∞，-1）；
故③正確，
④當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=e^x（x+2）；
∴x＜-2時(shí)，f′（x）＜0，-2＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（-2，0）上單調(diào)遞增；
∴x=-2時(shí)，f（x）取最小值-e^-2，且x＜-2時(shí)，f（x）＜0；
∴f（x）＜f（0）=1；
即-e^-2＜f（x）＜1；
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=e^-x（2-x）；
∴f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減；
x=2時(shí)，f（x）取最大值e^-2，且x＞2時(shí)，f（x）＞0；
∴f（x）＞f（0）=-1；
∴-1＜f（x）≤e^-2；
∴f（x）的值域?yàn)椋?1，e^-2]∪[-e^-2，1）；
∴?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2；
故④正確，
∴正確的命題為③④．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的命題的真假判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，以及利用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵．