已知拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F作兩條互相垂直的弦AB、CD,設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N.
(1)求證:直線(xiàn)MN必過(guò)定點(diǎn),并寫(xiě)出此定點(diǎn)坐標(biāo);
(2)分別以AB和CD為直徑作圓,求兩圓相交弦中點(diǎn)H的軌跡方程.
分析:(1)通過(guò)已知條件求出直線(xiàn)MN的方程,直線(xiàn)MN是直線(xiàn)系,即可得到直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn),問(wèn)題得到證明;
(2)求出以AB和CD為直徑的圓的方程,然后求兩圓相交弦的直線(xiàn)方程,說(shuō)明公共弦過(guò)原點(diǎn)O.∠OHT=90°.
得到點(diǎn)H的軌跡是以O(shè)T為直徑的圓(除去直徑的兩個(gè)端點(diǎn))即可.
解答:解:(1)設(shè)AB斜率為k,將AB方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立,求得M(
k2+2
k2
2
k
)
,將k換為-
1
k
得N(2k2+1,-2k),由兩點(diǎn)式得MN方程為(1-k2)y=k(x-3),則直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)T(3,0);…(7分)
(2)由拋物線(xiàn)性質(zhì),以AB、CD為直徑的⊙M、⊙N的半徑分別為xM+1,xN+1,于是可得兩圓方程分別為(x-xM)2+(y-yM)2=(xM+1)2(x-xN)2+(y-yN)2=(xN+1)2
兩式相減可得其相交弦所在直線(xiàn)方程為
(xM-xN)x+(yM-yN)y=
1
2
(yM2-yN2)-(xM-xN)=
1
2
(
4
k2
-4k2)-(
2
k2
-2k2)=0
,
則公共弦過(guò)原點(diǎn)O.所以∠OHT=90°.
于是,點(diǎn)H的軌跡是以O(shè)T為直徑的圓(除去直徑的兩個(gè)端點(diǎn)),
其軌跡方程為(x-
3
2
)2+y2=
9
4
(y≠0)
…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,直線(xiàn)系方程的應(yīng)用,軌跡方程的求法,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)M,過(guò)M作斜率為k的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)為P,AB的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)E(x0,0).
(1)求k的取值范圍;
(2)求證:x0>3;
(3)△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形?若能,求此k的值;若不能,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)
y
2
 
=4x
的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)A(4,4)作直線(xiàn)l:x=-1垂線(xiàn),垂足為M,則∠MAF的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為
x-2y+4=0
x-2y+4=0

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已知拋物線(xiàn)y2=4x,焦點(diǎn)為F,頂點(diǎn)為O,點(diǎn)P(m,n)在拋物線(xiàn)上移動(dòng),Q是OP的中點(diǎn),M是FQ的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程.
(2)求
nm+3
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)y2=4x與直線(xiàn)2x+y-4=0相交于A、B兩點(diǎn),拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F,那么|
FA
|+|
FB
|
=
7
7

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)y2=4x,其焦點(diǎn)為F,P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn),定點(diǎn)A(6,3),則|PA|+|PF|的最小值是
7
7

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