Question

已知：以點(diǎn)C(t,)(t∈R,t≠0)為圓心的圓與軸交于點(diǎn)O,A，與y軸交于點(diǎn)O,B，其中O為原點(diǎn)

（1）求證：△OAB的面積為定值；

（2）設(shè)直線y=–2x+4與圓C交于點(diǎn)M,N，若OM=ON，求圓C的方程

 

Answer 1

(1)參考解析；(2)

【解析】

試題分析：(1)因?yàn)橐�證△OAB的面積為定值，關(guān)鍵是要求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo) 根據(jù)圓的半徑是即 所以可以寫(xiě)出圓C的方程 從而分別令 即可求得A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo) 再根據(jù) 就即可證得結(jié)論

(2)因?yàn)橹本�y=–2x+4與圓C交于點(diǎn)M,N，若OM=ON 又因?yàn)?/span> 所以可得 由直線的斜率即可求得直線的斜率，從而得到直線的方程，在代入C (t,) 即可求得的值，再根據(jù)的值判斷直線與圓的關(guān)系 從而確定圓的方程

試題解析：（1）因?yàn)閳AC過(guò)原點(diǎn)O，

設(shè)圓的方程是 令得；令得 所以,即的面積為定值

（2）因?yàn)?/span>垂直平分線段 因?yàn)?/span>,所以直線的方程是 所以，解得或 當(dāng)時(shí)，圓心的坐標(biāo)為

此時(shí)到直線的距離，

圓與直線相交于兩點(diǎn) 10分

當(dāng)時(shí)，圓心的坐標(biāo)為，，

此時(shí)到直線的距離

圓與直線不相交，

不符合題意舍去 11分

圓的方程為 13分

考點(diǎn)：1 圓的方程 2 直線與圓的方程 3 圓的對(duì)稱(chēng)性