Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+2，a∈R．
（1）若a＜0時(shí)，試求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若a=0，且曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)A、B（A、B不重合）處切線(xiàn)的交點(diǎn)位于直線(xiàn)x=2上，證明：A、B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和小于4；
（3）如果對(duì)于一切x₁、x₂、x₃∈[0，1]，總存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長(zhǎng)的三角形，試求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）解：f'（x）=3x²+2ax-a²=3（x+a）（x-）
令f'（x）＜0，∵a＜0，∴
∴函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間[，-a]；
（2）證明：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x³+2
設(shè)在點(diǎn)A（x₁，x₁³+2）、B（x₂，x₂³+2）處切線(xiàn)的交點(diǎn)位于直線(xiàn)x=2上一點(diǎn)P（2，t），
∵y′=3x²，∴在點(diǎn)A處的切線(xiàn)斜率為k=
∴在A處的切線(xiàn)方程為y-（x₁³+2）=（（x-x₁）
∵切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P，∴t-（x₁³+2）=（（2-x₁）
∴①
同理②
①-②可得
∵x₁≠x₂，∴
∵x₁≠x₂，∴
∴
∴0＜x₁+x₂＜4
∴A、B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和小于4；
（3）解：由題設(shè)知，f（0）＜f（1）+f（1），即2＜2（-a²+a+3），∴-1＜a＜2
∵a＞0，∴0＜a＜2
∵
∴x∈時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增
∴當(dāng)x=時(shí)，f（x）有最小值f（）=-
∴f（）=-＞0①，f（0）＜2（-）②，f（1）＜2（-）③，
由①得a＜；由②得，∵0＜a＜2，∴
不等式③化為＜0
令g（a）=，則g′（a）=，∴g（a）為增函數(shù)
∵g（2）=-＜0，∴當(dāng)時(shí)，g（a）＜0恒成立，即③成立
∴正實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，令f'（x）＜0，結(jié)合a＜0，可得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)在點(diǎn)A（x₁，x₁³+2）、B（x₂，x₂³+2）處切線(xiàn)的交點(diǎn)位于直線(xiàn)x=2上一點(diǎn)P（2，t），求出切線(xiàn)方程，代入點(diǎn)P的坐標(biāo)，兩方程相減，借助于基本不等式，即可證得A、B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和小于4；
（3）先確定0＜a＜2，再求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與最小值，進(jìn)而可確定正實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查存在性問(wèn)題的研究，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．