分析:由于函數(shù)f(x)是分段函數(shù),且對任意的非零實數(shù)x1,存在唯一的非零實數(shù)x2(x2≠x1),使得f(x2)=f(x1)成立,得到x=0時,f(x)=k(1-a2),進(jìn)而得到,關(guān)于a的方程(3-a)2=k(1-a2)有實數(shù)解,即得△≥0,解出k即可.
解答:解:由于函數(shù)f(x)=
| k2x+k(1-a2) , x≥0 | x2+(a2-4a)x+(3-a)2, x<0 |
| |
,其中a∈R,
則x=0時,f(x)=k(1-a
2),
又由對任意的非零實數(shù)x
1,存在唯一的非零實數(shù)x
2(x
2≠x
1),使得f(x
2)=f(x
1)成立
∴函數(shù)必須為連續(xù)函數(shù),即在x=0附近的左右兩側(cè)函數(shù)值相等,
∴(3-a)
2=k(1-a
2)(k≠0)即(k+1)a
2-6a+9-k=0有實數(shù)解,
所以△=6
2-4(k+1)(9-k)≥0,解得k<0或k≥8
故答案為 (-∞,0)∪[8,+∞).
點評:本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),通過圖象比較函數(shù)值的大小,數(shù)形結(jié)合有助于我們的解題,形象直觀.