Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax³-x²+4x+3，若在區(qū)間[-2，1]上，f（x）≥0恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [-6，-2]
• B． $[-6，-\frac{9}{8}]$
• C． [-5，-3]
• D． [-4，-3]

Answer 1

分析 分x=0，0＜x≤1，-2≤x＜0三種情況進行討論，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值即可，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)最值，注意最后要對a取交集

解答 解：解：當(dāng)x=0時，不等式ax³-x²+4x+3≥0對任意a∈R恒成立；
當(dāng)0＜x≤1時，ax³-x²+4x+3≥0可化為a≥$\frac{1}{x}$$-\frac{4}{{x}^{2}}$$-\frac{3}{{x}^{3}}$，
令f（x）=$\frac{1}{x}$$-\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，則f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$$+\frac{8}{{x}^{3}}$+$\frac{9}{{x}^{4}}$=-$\frac{（x-9）（x+1）}{{x}^{4}}$（*），
當(dāng)0＜x≤1時，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
f（x）_max=f（1）=-6，∴a≥-6；
當(dāng)-2≤x＜0時，ax³-x²+4x+3≥0可化為a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$$-\frac{3}{{x}^{3}}$，
由（*）式可知，當(dāng)-2≤x＜-1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（-1）=-2，∴a≤-2；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是-6≤a≤-2，即實數(shù)a的取值范圍是[-6，-2]．
故答案為：[-6，-2]．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，按照自變量討論，最后要對參數(shù)范圍取交集．若按照參數(shù)討論則取并集，是中檔題．