Question

已知數(shù)列{a_n}是首項a₁=a，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足2b_n=（n+1）a_n；
（1）若a₁、a₃、a₄成等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若對任意n∈N^*都有b_n≥b₅成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）數(shù)列{c_n}滿足 ，其中c₁=1，f（n）=b_n+c_n，當(dāng)a=-20時，求f（n）的最小值（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a₁、a₃、a₄成等比數(shù)列，建立等式關(guān)系，可求出a的值，從而求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
2）根據(jù)題意數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列可得其通項公式為a_n=2n+（a-2），進而得到b_n的表達式，是一個關(guān)于n的二次式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．
解答：解：（1）因為a₁、a₃、a₄成等比數(shù)列，所以a₁•a₄=a₃²，即a•（a+6）=（a+4）²，a=-8．
所以a_n=-8+（n-1）×2=2n-10…（4分）
（2）由2b_n=（n+1）a_n，=，…（6分）
由題意得：，-22≤a≤-18…（10分）
（3）因為，
所以c_n=c₁+（c₂-c₁）+（c₃-c₂）+…+（c_n-c_n-1）==…（13分）
所以f（n）=b_n+c_n=，
則，=…（14分）
所以當(dāng)k＞10時，
即f（5）＜f（6）＜…＜f（n）＜…（15分）
所以當(dāng)1≤n≤4時，
即f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）…（16分）

所以 f（5）-f（4）＜0，所以…（18分）
點評：對于第二問解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉等差數(shù)列的通項公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，并且進行正確的運算也是關(guān)鍵，同時考查了數(shù)列的單調(diào)性求最值，屬于中檔題．