Question

已知點(diǎn)M是圓O：x²+y²=a²上任意一點(diǎn)，M在x軸上的射影為N，在線段OM上取點(diǎn)P，使得|OP|=|MN|，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：設(shè)出P的坐標(biāo)，化圓O的方程為參數(shù)方程，得到M的坐標(biāo)，把P的坐標(biāo)用含有參數(shù)θ的代數(shù)式表示，分類消掉參數(shù)θ得答案．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），
∵圓O：x²+y²=a²，
∴設(shè)M（acosθ，asinθ），
∴|OP|=|MN|=|asinθ|，
則

x=|asinθ|cosθ y=|asinθ|sinθ

，θ∈[0，2π），
不妨設(shè)a＞0，
當(dāng)θ∈[0，π]時(shí)，

x=asinθcosθ y=asin2θ

，消掉參數(shù)θ得x²+y²-ay=0（y≥0）；
當(dāng)θ∈（0，2π）時(shí)，

x=-asinθcosθ y=-asin2θ

，消掉參數(shù)θ得x²+y²+ay=0（y＜0）．
∴點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²-ay=0（y≥0），x²+y²+ay=0（y＜0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，考查了圓的參數(shù)方程，解答此題的關(guān)鍵是想到利用圓的參數(shù)方程求解，是中檔題．