Question

某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為G（x）（萬元），其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）；銷售收入R（x）（萬元）滿足：，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律：
（Ⅰ）要使工廠有贏利，產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍？
（Ⅱ）工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使贏利最多？

Answer 1

解：根據(jù)題意，設(shè)成本函數(shù)G（x）=x+2，利潤函數(shù)為f（x），則…（4分）
（Ⅰ） 要使工廠有贏利，即解不等式f（x）＞0，
①當(dāng)0≤x≤5時(shí)，解不等式-0.4x²+3.2x-2.8＞0，化簡得x²-8x+7＜0．
解之得1＜x＜7，結(jié)合0≤x≤5得1＜x≤5； …（7分）
②當(dāng)x＞5時(shí)，解不等式8.2-x＞0，得x＜8.2．
∴結(jié)合x＞5，得5＜x＜8.2．
綜上所述，要使工廠贏利，x應(yīng)滿足1＜x＜8.2，
即產(chǎn)品應(yīng)控制在大于100臺(tái)，小于820臺(tái)的范圍內(nèi)．…（9分）
（Ⅱ）①0≤x≤5時(shí)，f（x）=-0.4x²+3.2x-2.8=-0.4（x-4）²+3.6
可得當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最大值3.6．…（10分）
②當(dāng)x＞5時(shí)，f（x）＜8.2-5=3.2
綜上所述，f（x）的最大值為f（4）=3.6
∴當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使贏利最多．…13 分
分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)利潤函數(shù)為f（x），成本函數(shù)為G（x）=x+2，則f（x）=G（x）-R（x），結(jié)合題中R（x）分段的表達(dá)式，即可得到f（x） 分段的表達(dá)式．再分0≤x≤5和x＞5時(shí)兩種情況解關(guān)于x的不等式f（x）＞0，得到的解集即為使工廠有贏利的產(chǎn)量x的取值范圍．
（2）分0≤x≤5和x＞5時(shí)兩種情況討論，分別求二次函數(shù)y=-0.4x²+3.2x-2.8與一次函數(shù)y=8.2-x的最大值，最后綜合可得使贏利最多時(shí)的產(chǎn)量x的值．
點(diǎn)評：本題給出工廠生產(chǎn)的實(shí)際應(yīng)用問題，求最大盈利時(shí)的產(chǎn)量x值，著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法和用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問題等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．