已知數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=100.

 

(Ⅰ)求數(shù)列｛bn｝的通項bn;

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列｛an｝的通項an=lg(1+),記Sn是數(shù)列｛an｝的前n項和，試比較Sn與lgbn+1的大小，并證明你的結(jié)論.

(Ⅰ)設(shè)數(shù)列｛bn｝的公差為d，由題意得

 

解得    ∴bn=2n-1.?

 

(Ⅱ)由bn=2n-1,知?

Sn=lg(1+1)+lg(1+)+……+lg(1+)

=lg［(1+1)(1+)……(1+)］,?

 

lgbn+1=lg.?

因此要比較Sn與lgbn+1的大小，可先比較(1+1)(1+)……(1+ )與的大小.?

取n=1有(1+1)＞,?取n=2有(1+1)(1+)＞……

由此推測(1+1)(1+)……(1+)＞.①若①式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)

可斷定：Sn＞lgbn+1.?

 

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.?

(i)當n=1時已驗證①式成立.?

(ii)假設(shè)當n=k(k≥1)時，①式成立，即(1+1) (1+)……(1+)＞ .?

那么，當n=k+1時，(1+1) (1+)……(1+)＞(1+)

=(2k+2)，?

 

 ∵[(2k+2)]2-[]2==>0

 

∴(2k+2)＞=.

因而(1+1)(1+)……(1+)(1+)＞.?

這就是說①式當n=k+1時也成立.?

由(i)，(ii)知①式對任何正整數(shù)n都成立.?

由此證得：Sn＞lgbn+1.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

.在等比數(shù)列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又2是a3與a5的等比中項．設(shè)bn=5-log2an．
（1）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）已知數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，Tn=
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
，求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an}滿足an+12-an2=d（其中d是常數(shù)，n∈N﹡），則稱數(shù)列{an}是“等方差數(shù)列”．已知數(shù)列{bn}是公差為m的差數(shù)列，則m=0是“數(shù)列{bn}是等方差數(shù)列”的
充要條件
充要條件
條件．（填充分不必要、必要不充分、充要條件、既不充分也不必要條件中的一個）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an}滿足
a
2
n+1
-
a
2
n
=d（其中d是常數(shù)，n∈N﹡），則稱數(shù)列{an}是“等方差數(shù)列”．已知數(shù)列{bn}是公差為m的差數(shù)列，則m=0是“數(shù)列{bn}是等方差數(shù)列”的
充要條件
充要條件
條件．（填充分不必要、必要不充分、充要條件、既不充分也不必要條件中的一個）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a2=2，a8為a4和a16的等比中項．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=(
2
an+an+1
)2，求證b1+b2+b3+…+bn＜
n
n+1
(n∈N*)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：013

已知數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列, 且bn＝an+an+1, 則｛bn｝是

[　　]

A.等比數(shù)列, 但不是等差數(shù)列　　    B.等差數(shù)列, 但不是等比數(shù)列

C.等比數(shù)列或等差數(shù)列　　　　　　  D.不是等比也不是等差數(shù)列

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