Question

10．設(shè)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩焦點(diǎn)與短軸一端點(diǎn)組成一正三角形三個(gè)頂點(diǎn)，若焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最大距離為$3\sqrt{3}$，則分別以a，b為實(shí)半軸長和虛半軸長，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{12}-\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩焦點(diǎn)與短軸一端點(diǎn)組成一正三角形三個(gè)頂點(diǎn)，可得b=$\sqrt{3}$c．由焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最大距離為$3\sqrt{3}$，則a+c=3$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩焦點(diǎn)與短軸一端點(diǎn)組成一正三角形三個(gè)頂點(diǎn)，∴b=$\sqrt{3}$c．
由焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最大距離為$3\sqrt{3}$，則a+c=3$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a²=12，b=3．
∴焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{12}-\frac{{x}^{2}}{9}$=1．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{12}-\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．