Question

14．命題P：y=$\sqrt{{x}^{2}+mx+4}$的定義域為R；命題q：方程$\frac{x^2}{3-m}+\frac{y^2}{4-m}=1$表示橢圓．
（1）求P真且q真時的實數m的取值范圍．
（2）若p∨q為真，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求出命題p，q為真時實數m的取值范圍，求其交集，可得P真且q真時的實數m的取值范圍．
（2）分別求出命題p，q為真時實數m的取值范圍，求其并集，可得p∨q為真時的實數m的取值范圍．

解答 （本題滿分13分）
解：（1）若P為真，則x²+mx+4≥0的解集是R，
∴△=m²-16≤0，
∴-4≤m≤4---------------（3分）
若q為真，則$\left\{{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{4-m＞0}\end{array}}\right.$，
∴m＜3---------------（6分）
∴p真且q真的實數m的取值范圍是-4≤m＜3-----（9分）
（2）∵p∨q為真，
∴p、q中至少一個為真
∴實數m的取值范圍是m≤4-------------------（13分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，橢圓的標準方程，恒成立問題，難度中檔．