Question

已知函數f（x）=x|x-a|+2x．若存在a∈[-3，3]，使得關于x的方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數根，則實數t的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：當-2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數，則關于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實數根；當a∈（2，3]時和當a∈[-3，-2）時，等價轉化f（x）的表達式，利用函數的單調性能得到實數t的取值范圍．
解答：當-2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數，
則關于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實數根，
則當a∈（2，3]時，由f（x）=，
得x≥a時，f（x）=x²+（2-a）x，對稱軸x=＜a，
則f（x）在x∈[a，+∞）為增函數，此時f（x）的值域為[f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a時，f（x）=-x²+（2+a）x，對稱軸x=＜a，
則f（x）在x∈（-∞，]為增函數，此時f（x）的值域為（-∞，]，
f（x）在x∈[，a）為減函數，此時f（x）的值域為（2a，]；
由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個不相等的實根，
則2ta∈（2a，），
即存在a∈（2，3]，使得t∈（1，）即可，
令g（a）==（a++4），
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函數，
∴（g（a））max=g（3）=，
故實數t的取值范圍為（1，）；
同理可求當a∈[-4，-2）時，t的取值范圍為（1，）；
綜上所述，實數t的取值范圍為（1，）．
故選B．
點評：本題考查函數恒成立問題的應用，考查運算求解能力，推理論證能力，考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高．