Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x．若存在a∈[-3，3]，使得關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：當(dāng)-2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數(shù)，則關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)a∈（2，3]時和當(dāng)a∈[-3，-2）時，等價轉(zhuǎn)化f（x）的表達(dá)式，利用函數(shù)的單調(diào)性能得到實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解答：當(dāng)-2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數(shù)，
則關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實(shí)數(shù)根，
則當(dāng)a∈（2，3]時，由f（x）=，
得x≥a時，f（x）=x²+（2-a）x，對稱軸x=＜a，
則f（x）在x∈[a，+∞）為增函數(shù)，此時f（x）的值域?yàn)閇f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a時，f（x）=-x²+（2+a）x，對稱軸x=＜a，
則f（x）在x∈（-∞，]為增函數(shù)，此時f（x）的值域?yàn)椋?∞，]，
f（x）在x∈[，a）為減函數(shù)，此時f（x）的值域?yàn)椋?a，]；
由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個不相等的實(shí)根，
則2ta∈（2a，），
即存在a∈（2，3]，使得t∈（1，）即可，
令g（a）==（a++4），
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函數(shù)，
∴（g（a））max=g（3）=，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為（1，）；
同理可求當(dāng)a∈[-4，-2）時，t的取值范圍為（1，）；
綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍為（1，）．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高．