B
分析:當-2≤a≤2時,f(x)在R上是增函數,則關于x的方程f(x)=tf(a)不可能有三個不等的實數根;當a∈(2,3]時和當a∈[-3,-2)時,等價轉化f(x)的表達式,利用函數的單調性能得到實數t的取值范圍.
解答:當-2≤a≤2時,f(x)在R上是增函數,
則關于x的方程f(x)=tf(a)不可能有三個不等的實數根,
則當a∈(2,3]時,由f(x)=

,
得x≥a時,f(x)=x
2+(2-a)x,對稱軸x=

<a,
則f(x)在x∈[a,+∞)為增函數,此時f(x)的值域為[f(a),+∞)=[2a,+∞),
x<a時,f(x)=-x
2+(2+a)x,對稱軸x=

<a,
則f(x)在x∈(-∞,

]為增函數,此時f(x)的值域為(-∞,

],
f(x)在x∈[

,a)為減函數,此時f(x)的值域為(2a,

];
由存在a∈(2,3],方程f(x)=tf(a)=2ta有三個不相等的實根,
則2ta∈(2a,

),
即存在a∈(2,3],使得t∈(1,

)即可,
令g(a)=

=

(a+

+4),
只要使t<(g(a))
max即可,而g(a)在a∈(2,3]上是增函數,
∴(g(a))max=g(3)=

,
故實數t的取值范圍為(1,

);
同理可求當a∈[-4,-2)時,t的取值范圍為(1,

);
綜上所述,實數t的取值范圍為(1,

).
故選B.
點評:本題考查函數恒成立問題的應用,考查運算求解能力,推理論證能力,考查化歸與轉化思想.綜合性強,難度大,有一定的探索性,對數學思維能力要求較高.