Question

17．如圖，梯形ABCD內(nèi)接于圓O，AD∥BC，過點C作圓O的切線，交BD的延長線于點F，交AD的延長線于點E．
（Ⅰ）求證：AB²=DE•BC；
（Ⅱ）若BD=BC=9，AB=6，求切線FC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明△CDE～△BCD，然后推出AB²=DE•BC；
（Ⅱ）證明△CDF～△BCF，利用已知條件求出切線FC的長．

解答 解：（Ⅰ）因為CF與圓O相切，所以∠DCE=∠DBC，又DE∥BC，所以∠CDE=∠DCB，所以△CDE～△BCD，可得$\frac{DC}{BC}=\frac{DE}{DC}$，所以DC²=DE•BC，
又AB=DC，所以AB²=DE•BC…（5分）
（Ⅱ）∠DCE=∠DBC，∠BFC是公共角，所以△CDF～△BCF，
所以$\frac{FC}{DF}=\frac{FB}{FC}=\frac{BC}{CD}=\frac{9}{6}$，所以$FC=6+\frac{2}{3}FD$，
又FC²=FD•FB=FD•（FD+9），所以$FC=\frac{54}{5}$．…（10分）

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，三角形相似的判斷與應(yīng)用，考查計算能力．