Question

已知函數f（x）=x-ln（1+x），數列{a_n}滿足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）；數列{b_n}滿足b₁=

1

2

，b_n+1≥

1

2

（n+1）b_n，n∈N^*．求證：
（Ⅰ）0＜a_n+1＜a_n＜1；
（Ⅱ）a_n+1＜

a 2 n

2

（Ⅲ）若a₁=

2

2

，則當n≥2時，b_n＞a_n•n!．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用數學歸納法證明0＜a_n＜1，n∈N^*．（1）當n=1時，由已知得結論成立；（2）假設當n=k時，結論成立，即0＜a_k＜1．則當n=k+1時，因為0＜x＜1時，f′（x）=1-

1

x+1

=

x

x+1

＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函數．可和f（0）＜f（a_k）＜f（1），即0＜a_k+1＜1＜1-ln2＜1．再由a_n+1-a_n=an-ln（1+a_n）-an=-ln（1+a_n）＜0，有a_n+1＜a_n．進而得到結論．
（Ⅱ）根據問題和a_n+1=f（a_n），可構造函數g（x）=

x2

2

-f（x）=

x2

2

+ln(1+x)-x，0＜x＜1，即證g（x）＞0成立，用導數法研究因為g′（x）=

x2

1+x

＞0，知g（x）在（0，1）上增函數．得到結論．
（Ⅲ）由b₁=

1

2

，b_n+1≥

1

2

（n+1）b_n，可再由b_n＞0，變形為

bn+1

bn

≥

n+1

2

，從而由累乘法可得b_n=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

…

b2

b1

b1≥

1

2n

• n!①，再由a_n+1＜

a 2 n

2

推知：

an+1

an

＜

an

2

，再用累乘法可得

an

a1

=

a1

2

a2

2

…

an-1

2

•a1＜

a n 1

2n-1

＜

2• a 2 1

2n

=

1

2n

②．由①②兩式可得結論．

解答：解：（Ⅰ）先用數學歸納法證明0＜a_n＜1，n∈N^*．
（1）當n=1時，由已知得結論成立；
（2）假設當n=k時，結論成立，即0＜a_k＜1．則當n=k+1時，
∵0＜x＜1時，f′（x）=1-

1

x+1

=

x

x+1

＞0，
∴f（x）在（0，1）上是增函數．
又∵f（x）在[0，1]上連續(xù)，
∴f（0）＜f（a_k）＜f（1），即0＜a_k+1＜1＜1-ln2＜1．
故當n=k+1時，結論也成立．即0＜a_n＜1對于一切正整數都成立．（4分）
又由0＜a_n＜1，得a_n+1-a_n=an-ln（1+a_n）-an=-ln（1+a_n）＜0，從而a_n+1＜a_n．
綜上可知0＜a_n+1＜a_n＜1（6分）
（Ⅱ）構造函數g（x）=

x2

2

-f（x）=

x2

2

+ln(1+x)-x，0＜x＜1，
由g′（x）=

x2

1+x

＞0，知g（x）在（0，1）上增函數．
又g（x）在[0，1]上連續(xù)，
∴g（x）＞g（0）=0．
∵0＜a_n＜1，
∴g（a_n）＞0，即

a 2 n

2

-f（an）＞0，
從而a_n+1＜

a 2 n

2

（10分）
（Ⅲ）∵b₁=

1

2

，b_n+1≥

1

2

（n+1）b_n，
∴b_n＞0，

bn+1

bn

≥

n+1

2

，
∴b_n=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

…

b2

b1

b1≥

1

2n

• n!①，（12分）
由（Ⅱ）a_n+1＜

a 2 n

2

知：

an+1

an

＜

an

2

，
∴

an

a1

=

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

＜

a1

2

a2

2

…

an-1

2

，
∵a₁=

2

2

，n≥2，0＜a_n+1＜a_n＜1
∴a_n＜

a1

2

a2

2

…

an-1

2

•a1＜

a n 1

2n-1

＜

2• a 2 1

2n

=

1

2n

②．（14分）
由①②兩式可知：b_n＞a_n•n!．（16分）

點評：本題主要考查數列與函數，不等式的綜合運用，主要涉及了數學歸納法，導數法，放縮法及累乘法等常用解題方法，綜合性強，難度大，要求思路要清，意志力要強．