Question

6．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$n∈N*
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，求證：b_nS_n≤$\frac{1}{16}$（n∈N*）

Answer 1

分析 （1）把已知遞推式變形，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}=-\frac{2}{{a}_{n}-1}-1$．令$\frac{1}{{a}_{n}-1}={c}_{n}$，則${c}_{n+1}+\frac{1}{3}=-2（{c}_{n}+\frac{1}{3}）$．得數(shù)列{${c}_{n}+\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$為首項(xiàng)，以-2為公比的等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，可得a_n-1，a_n+2，代入b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知，數(shù)列{b_n}是以$\frac{1}{4}$為首項(xiàng)，以$-\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，求其前n項(xiàng)和，代入b_nS_n，對n分類利用數(shù)列的函數(shù)特性證得b_nS_n≤$\frac{1}{16}$．

解答 解：（1）由a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，得${a}_{n+1}-1=\frac{2}{{a}_{n}+1}-1=\frac{2-{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}=-\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}=-\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}-1}=-\frac{{a}_{n}-1+2}{{a}_{n}-1}=-\frac{2}{{a}_{n}-1}-1$．
令$\frac{1}{{a}_{n}-1}={c}_{n}$，則c_n+1=-2c_n-1，即${c}_{n+1}+\frac{1}{3}=-2（{c}_{n}+\frac{1}{3}）$．
又${c}_{1}+\frac{1}{3}=\frac{1}{{a}_{1}-1}+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，
∴數(shù)列{${c}_{n}+\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$為首項(xiàng)，以-2為公比的等比數(shù)列，
則${c}_{n}+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}•（-2）^{n-1}$，
∴${c}_{n}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}•（-2）^{n-1}$，即$\frac{1}{{a}_{n}-1}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}•（-2）^{n-1}$．
∴${a}_{n}-1=\frac{1}{-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}•（-2）^{n-1}}$，${a}_{n}+2=\frac{1}{-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}•（-2）^{n-1}}+3=\frac{1-1+4•（-2）^{n-1}}{-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}•（-2）^{n-1}}$，
則b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$=$\frac{1}{4•（-2）^{n-1}}=（-1）^{n-1}•\frac{1}{{2}^{n+1}}=\frac{1}{（-2）^{n+1}}$；
證明：（2）由（1）知，數(shù)列{b_n}是以$\frac{1}{4}$為首項(xiàng)，以$-\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
則${S}_{n}=\frac{\frac{1}{4}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{6}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
∴b_nS_n=$（-\frac{1}{2}）^{n+1}•\frac{1}{6}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b_nS_n＜0；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)b_nS_n為減函數(shù)，
∴b_nS_n≤b₁S₁=$\frac{1}{4}×\frac{1}{6}×\frac{3}{2}=\frac{1}{16}$．
綜上，b_nS_n≤$\frac{1}{16}$（n∈N*）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了利用數(shù)列的單調(diào)性求最值，是中檔題．