Question

10．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{a（x-1）}{x+1}，a∈R$．
（Ⅰ）若，求證：f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集為，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=2代入，求出導函數(shù)f'（x）≥0，得出結論；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導函數(shù)，對a進行分類討論，判斷定義域內(nèi)是否遞增．

解答 證明：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{a（x-1）}{x+1}，a∈R$．
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{2a}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}$
若a=2，則$f′（x）=\frac{{x}^{2}-2x+1}{x{（x+1）}^{2}}=\frac{{（x-1）}^{2}}{x{（x+1）}^{2}}≥0$，
當且僅當x=1時，取等號
則f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
解：（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{2a}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}$，
注意到f（1）=0
（1）當a≤1時，則$f'（x）=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}＞0$，
則f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；顯然適合題意；
（2）當1＜a≤2時，則△=4（a²-2a）≤0，則$f'（x）=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}≥0$，
當且僅當a=2，x=1時，取等號，
則f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；顯然適合題意．
（3）當a＞2時，則△=4（a²-2a）＞0，
則$f'（x）=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}=0$有兩個實根${x_1}=a-1-\sqrt{{a^2}-2a}，{x_2}=a-1+\sqrt{{a^2}-2a}$，
且0＜x₁＜a-1＜x₂，（a-1＞1），
則f（x）在（0，x₁]，[x₂，+∞）上為增函數(shù)，在（x₁，x₂）上是減函數(shù)；
1∈（x₁，x₂），f（1）=0，
顯然不適合題意．綜上：a≤2

點評 考查了導函數(shù)的應用和二次函數(shù)參數(shù)的分類討論．難點是轉化思想的應用．