Question

若數(shù)列{a_n}（n∈N^*）滿足：（1）a_n≥0；（2）a_n-2a_n+1+a_n+2≥0；
（3）a₁+a₂+…+a_n≤1，則稱數(shù)列{a_n}為“和諧”數(shù)列．
（Ⅰ）驗(yàn)證數(shù)列{a_n}，{b_n}，其中an=

1

n(n+1)

，bn=

1

2n

是否為“和諧”數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}為“和諧”數(shù)列，證明：0≤an-an+1＜

2

n2

．

Answer 1

分析：本題考查的是演繹推理，要判斷一個(gè)數(shù)列是否是“和諧”數(shù)列，關(guān)鍵是要看這個(gè)數(shù)列是否符號(hào)“和諧”數(shù)列的定義．
（1）中要判斷數(shù)列{a_n}（或{b_n}）是否為和諧數(shù)列，則要判斷①a_n≥0（或b_n≥0）②a_n-2a_n+1+a_n+2≥0（或b_n-2b_n+1+b_n+2≥0）③a₁+a₂+…+a_n≤1（或b₁+b₂+…+b_n≤1）三個(gè)條件，如果全部符合，則為“和諧數(shù)列”對(duì)于（2）直接證明有難度，可以使用反證法來證明，即若若a_n-a_n+1≥0不恒成立，則數(shù)列{a_n}不為“和諧”數(shù)列，這與已知相矛盾，從而得到結(jié)論恒成立．

解答：解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}為“和諧”數(shù)列；數(shù)列{b_n}不是“和諧”數(shù)列．
數(shù)列{a_n}顯然符合（1）
因?yàn)?span id="ofew0vr" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">an-2an+1+an+2=

1

n(n+1)

-

2

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

=

6

n(n+1)(n+2)(n+3)

＞0所以符合（2）
因?yàn)?span id="4ntdwpx" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a1+a2++an=

1

1×2

+

1

2×3

++

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

＜1，所以符合（3）
所以數(shù)列{a_n}為“和諧”數(shù)列．
對(duì)于數(shù)列{b_n}，有b_n＞0b1+b2++bn＞b1+b2+b3+b4=

1

2

+

1

4

+

1

6

+

1

8

=

12+6+4+3

24

=

25

24

＞1，
所以數(shù)列{b_n}不滿足（3），因此數(shù)列{b_n}不是“和諧”數(shù)列．
（Ⅱ）反證法：若a_n-a_n+1≥0不恒成立，即存在自然數(shù)k，a_k-a_k+1＜0，a_k+1＞a_k，
由（2）可知，a_k+2-a_k+1≥a_k+1-a_k＞0，得a_k+2＞a_k+1，
依此類推當(dāng)n≥k時(shí)，{a_n}遞增，與對(duì)任意n，與a₁+a₂++a_n≤1矛盾，
所以a_n-a_n+1≥0
構(gòu)造數(shù)列{b_n}，令b_n=a_n-a_n+1
由（2）可知a_n-a_n+1≥a_n+1-a_n+2，∴b_n≥b_n+1，a₁+a₂++a_n=a₁+（-a₂+2a₂）+（-2a₃+3a₃）++[-（n-1）a_n+na_n]≥a₁+（-a₂+2a₂）+（-2a₃+3a₃）++[-（n-1）a_n+na_n]-na_n+1
=（a₁-a₂）+2（a₂-a₃）++n（a_n-a_n+1）=b₁+2b₂++nb_n≥（1+2++n）b_n
=

n(n+1)

2

bn，
由（3）知

n(n+1)

2

bn≤a1+a2++an≤1
得：bn≤

2

n(n+1)

＜

2

n2

即：an-an+1＜

2

n2

，所以0≤an-an+1＜

2

n2

點(diǎn)評(píng)：演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論推理．三段論推理的依據(jù)用集合論的觀點(diǎn)來講就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P．當(dāng)我們從正面證明一個(gè)結(jié)論比較麻煩或根本證明不了時(shí)，可利用反證法來證明結(jié)論．