Question

已知三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面,AC=BC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

(1)求證：BC1∥平面CA1D；

(2)求證：平面CA1D⊥平面AA1B1B；

(3)若底面ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，BB1=求三棱錐B1-A1DC的體積．

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）1.

【解析】

試題分析：證明（1）連接AC1交A1C于點(diǎn)E，連接DE

因?yàn)樗倪呅蜛A1C1C是矩形，知E為AC1的中點(diǎn)

又D是AB的中點(diǎn)，得到DE∥BC1，

從而可得BC1∥面CA1.

證明（2）由AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，得AB⊥CD，

由AA1⊥面ABC，得AA1⊥CD，

從而CD⊥面AA1B1B，進(jìn)一步得平面CA1D⊥平面AA1B1B.

（3）利用，可求得體積.

試題解析：證明（1）連接AC1交A1C于點(diǎn)E，連接DE

因?yàn)樗倪呅蜛A1C1C是矩形，則E為AC1的中點(diǎn)

又D是AB的中點(diǎn)，DE∥BC1，

又DE面CA1D，BC1面CA1D，BC1∥面CA1 (４分)

證明（2）AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，AB⊥CD，

又AA1⊥面ABC，CD面ABC，AA1⊥CD，

AA1∩AB=A，CD⊥面AA1B1B，CD面CA1D，

平面CA1D⊥平面AA1B1B (８分)

（3）【解析】
,則（2）知CD⊥面ABB1B，所以高就是CD=，BD=1，BB1=，所以A1D=B1D=A1B1=2,, (1２分)

考點(diǎn)：平行關(guān)系，垂直關(guān)系，幾何體的特征，幾何體的體積.