設(shè)a＞0，f（x）=
ex
a
+
a
ex
是R上的偶函數(shù)，
（1）求a的值；
（2）若x∈（0，+∞）時(shí)，此時(shí)函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩點(diǎn)，使這兩點(diǎn)的連線與軸平行？并說明理由．
分析：（1）根據(jù)題意可得：f（-x）=f（x）在R上恒成立，即等價(jià)于(a-
1
a
)(ex-
1
ex
)在R上恒成立，進(jìn)而求出答案．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可得：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的圖象上是不存在兩點(diǎn)，使這兩點(diǎn)的連線與軸平行．
解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=
ex
a
+
a
ex
是R上的偶函數(shù)，
所以f（-x）=f（x）在R上恒成立，
所以
e-x
a
+
a
e-x
=
ex
a
+
a
ex
，
等價(jià)于(a-
1
a
)(ex-
1
ex
)在R上恒成立，
所以a=1．
（2）設(shè)x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
則有f(x2)-f(x1)=(ex2-ex1)+
ex2-ex1
ex1ex2

由于e＞1，且x1＜x2，
所以f（x2）＞f（x1），
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
若x∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象上是不存在兩點(diǎn)，使這兩點(diǎn)的連線與軸平行
點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，并且熟練利用定義證明或者判定函數(shù)的這些性質(zhì)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞0，f（x）=ax2+bx+c，若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處切線的傾斜角的取值范圍為[0，
π4
]，則P到曲線y=f（x）的對稱軸的距離的取值范圍為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞0，f（x）=
ex
a
+
a
ex
是R上的偶函數(shù)．則a的值為（　　）
A、-2B、-1C、1D、2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有以下五個命題
①設(shè)a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處切線的傾斜角的取值范圍為[0，
π
4
]，則點(diǎn)P到曲線y=f（x）對稱軸距離的取值范圍為[0，
1
2a
]；
②一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t稱后的位移為s=
1
3
t3-
3
2
t2+2t，那么速度為零的時(shí)刻只有1秒末；
③若函數(shù)f（x）=loga（x3-ax）（a＞0，且a≠1）在區(qū)間(-
1
2
，0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是[
3
4
，1)；
④定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=-f（x），則f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱；
⑤函數(shù)y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱．其中正確的有
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞0，f（x）=x2+a|lnx-1|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，求f（x）的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞0函數(shù)f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)x0≥1，f（x1）≥1，且f（f（x0））=x0，求證：f（x0）=x0．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案