Question

已知，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)P_n（a_n，）（n∈N^*）在曲線y=f（x）上，且a₁=1，a_n＞0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=1，前n項(xiàng)和為T_n，且，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）點(diǎn)P_n（a_n，）（n∈N^*）在曲線y=f（x）上，代入f（x）的解析式化簡可得數(shù)列{}是等差數(shù)列，根據(jù)首項(xiàng)與公差寫出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，根據(jù)且a₁=1，a_n＞0，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）把（1）中求出的數(shù)列的通項(xiàng)公式代入中，化簡后得到
，設(shè)，則上式變?yōu)閏_n+1-c_n=1，得到{c_n}是等差數(shù)列．求出{c_n}的通項(xiàng)公式，
代入即可求得T_n的通項(xiàng)公式，然后利用b_n=T_n-T_n-1即可得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
解答：解：（1）由題意知．
∴．
∴，即{}是等差數(shù)列．
∴+4（n-1）=1+4n-4=4n-3．
∴．
又∵a_n＞0，
∴．
（2）由題設(shè)知（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n+1）（4n-3）．
∴．
設(shè)，則上式變?yōu)閏_n+1-c_n=1．
∴{c_n}是等差數(shù)列．
∴c_n=c₁+n-1=+n-1=b₁+n-1=n．
∴，即T_n=n（4n-3）=4n²-3n．
∴當(dāng)n=1時(shí)，b_n=T₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1=4n²-3n-4（n-1）²+3（n-1）=8n-7．
經(jīng)驗(yàn)證n=1時(shí)也適合上式．
∴b_n=8n-7（n∈N^*）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡求值，會(huì)確定一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，是一道綜合題．