Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并分別寫出a_n和S_n關(guān)于n的表達式；
（Ⅱ）求

lim

n→∞

(

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

)；
（Ⅲ）是否存在自然數(shù)n，使得S1+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

=400？若存在，求n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），從而得到a_n-a_n-1=4（n=2，3，4，）．由此可知a_n=4n-3．所以Sn=

1

2

(a1+an)n=2n2-n．
（Ⅱ）由題設(shè)知

lim

n→∞

(

1

a1a2

+

1

a2a3

++

1

an-1an

)=

lim

n→∞

(

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

++

1

(4n-7)(4n-3)

)=

lim

n→∞

1

4

(1-

1

4n-3

)；計算可得答案．
（Ⅲ）由題設(shè)條件知

Sn

n

=2n-1，所以S1+

S2

2

+

S3

3

++

Sn

n

=1+3+5+7++(2n-1)=n2．由此可知存在滿足條件的自然數(shù)n=20．

解答：解：（Ⅰ）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），（2分）
得a_n-a_n-1=4（n=2，3，4，）．（3分）
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，4為公差的等差數(shù)列．（4分）
∴a_n=4n-3．（5分）Sn=

1

2

(a1+an)n=2n2-n．（6分）
（Ⅱ）

lim

n→∞

(

1

a1a2

+

1

a2a3

++

1

an-1an

)=

lim

n→∞

(

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

++

1

(4n-7)(4n-3)

)
=

lim

n→∞

1

4

((

1

1

-

1

5

)+(

1

5

-

1

9

)+(

1

9

-

1

13

)++(

1

4n-7

-

1

4n-3

))（8分）
=

lim

n→∞

1

4

(1-

1

4n-3

)=

1

4

．（10分）
（Ⅲ）由S_n=2n²-n得：

Sn

n

=2n-1，（11分）
∴S1+

S2

2

+

S3

3

++

Sn

n

=1+3+5+7++(2n-1)=n2．（13分）
令n²=400，得n=20，所以，存在滿足條件的自然數(shù)n=20．（14分）

點評：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．