Question

已知凼數(shù)f（x）=

3x2+2ax-a-6，x＜0 3x2-(a+3)x+a，x≥0

．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若-3≤a≤0且存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），求證：x₁+x₂+x₃≥-

2

+1．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出a=1的解析式，分別求得x＜0和x≥0時(shí)的最小值，即可得到；
（2）作出-3≤a≤0時(shí)f（x）的圖象，分別判斷x＜0和x≥0時(shí)的單調(diào)性，不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，則有x₂+x₃=2×

a+3

6

=

a+3

3

，即有x₁+x₂+x₃=x₁+

a+3

3

，再由x=0時(shí)的函數(shù)值，解方程可得小于0的x₁，再由a的范圍，即可得證．

解答： （1）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

3x2+2x-7，x＜0 3x2-4x+1，x≥0

，
當(dāng)x＜0時(shí)，y=3x²+2x-7=3（x+

1

3

）²-

22

3

，在x=-

1

3

時(shí)取得最小值，
且為-

22

3

；
當(dāng)x≥0時(shí)，y=3x²-4x+1=3（x+

2

3

）²-

1

3

，在[0，+∞）遞增，則x=0時(shí)，取得最小值，且為1．
綜上可得f（x）的最小值為-

22

7

．
（2）證明：作出-3≤a≤0時(shí)f（x）的圖象，如右．
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）遞減，x≥0時(shí)，在[0，

a+3

6

）遞減，
在（

a+3

6

，+∞）遞增，
不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，則有x₂+x₃=2×

a+3

6

=

a+3

3

，
即有x₁+x₂+x₃=x₁+

a+3

3

，
令x=0時(shí)，f（0）=a，
令f（x₁）=a，（x₁＜0），
則有3x²+2ax-2a-6=0，
解得x=

-2a± 4(a2+6a+18)

6

=

-a± (a+3)2+9

3

，
由于-3≤a≤0，則x₁=

-a- (a+3)2+9

3

，
即有x₁+x₂+x₃=1-

(a+3)2+9

3

，
由-3≤a≤0，則（a+3）²+9∈[9，18]，
則有

(a+3)2+9

3

∈[1，

2

]，
即有x₁+x₂+x₃≥1-

2

．

點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查二次函數(shù)的最值的求法，同時(shí)考查二次函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，通過圖象觀察得到交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．