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已知函數，是函數y=f（x）的極值點．
（I）求實數a的值；
（II）若方程f（x）-m=0有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍．
【答案】分析：（I）先求導函數f′（x），根據極值的定義可知，建立等式關系，解之即可；
（II）先根據函數的單調性研究出函數在（0，+∞）上的值域，然后要使方程f（x）-m=0有兩不相等的實數根，即函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點，討論b與0的大小，結合圖象進行求解即可．
解答：解：（I）x＞0時，f（x）=（x2-2ax）ex
∴f′（x）=（2x-2a）ex+（x2-2ax）ex=[x2+2（1-a）x-2a]ex（2分）
由已知，，
∴，
∴，得a=1
（II）由（I）x＞0時，f（x）=（x2-2x）ex，
∴f′（x）=（2x-2）ex+（x2-2x）ex=（x2-2）ex
令f'（x）=0得x=（x=-舍去）
當x＞0時

所以，當時，f（x）單調遞減，
當x∈時，f（x）單調遞減，f（x）∈
∴x＞0時，f（x）∈
要使方程f（x）-m=0有兩不相等的實數根，即函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點．
（1）當b＞0時，m=0或
（2）當b=0時，m∈
（3）當b＜0時，m
點評：本題主要考查函數與導數的基本知識，幾何意義及其應用，同時考查學生分類討論思想、函數與方程思想、數形結合思想以及轉化與歸化的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x3-2x2-4x-7．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求a＞2時，證明：對于任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f'（a）（x-a）；
（Ⅲ）設x0是函數y=f（x）的零點，實數α滿足f(α)＞0，β=α-
f(α)f′(α)
，試探究實數α、β、x0的大小關系．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）是區(qū)間D⊆[0，+∞）上的增函數，若f（x）可表示為f（x）=f1（x）+f2（x），且滿足下列條件：①f1（x）是D上的增函數；②f2（x）是D上的減函數；③函數f2（x）的值域A⊆[0，+∞），則稱函數f（x）是區(qū)間D上的“偏增函數”．
（1）（i） 問函數y=sinx+cosx是否是區(qū)間(0，
π
4
)上的“偏增函數”？并說明理由；
（ii）證明函數y=sinx是區(qū)間(0，
π
4
)上的“偏增函數”．
（2）證明：對任意的一次函數f（x）=kx+b（k＞0），必存在一個區(qū)間D⊆[0，+∞），使f（x）為D上的“偏增函數”．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=sinx+cosx，給出下列四個命題：
（1）若x∈[0，
π
2
]，則y∈(0，
2
]；
（2）直線x=-
3π
4
是函數y=sinx+cosx圖象的一條對稱軸；
（3）在區(qū)間[
π
4
，
5π
4
]上函數y=sinx+cosx是減函數；
（4）函數y=sinx+cosx的圖象可由y=
2
sinx的圖象向右平移
π
4
個單位而得到．其中正確命題的序號是
（2）（3）
（2）（3）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=f（x）是R上偶函數，且對于?x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，當x1，x2∈[0.3]，且時，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0．對于下列敘述；
①f（3）=0；     
②直線x=-6是函數y=f（x）的一條對稱軸；
③函數y=f（x）在區(qū)間[-9，-6]上為增函數；    
④函數y=f（x）在區(qū)間[-9，9]上有四個零點．
其中正確命題的序號是（　　）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知函數y=sinx+cosx，給出下列四個命題：
（1）若x∈[0，
π
2
]，則y∈(0，
2
]；
（2）直線x=-
3π
4
是函數y=sinx+cosx圖象的一條對稱軸；
（3）在區(qū)間[
π
4
，
5π
4
]上函數y=sinx+cosx是減函數；
（4）函數y=sinx+cosx的圖象可由y=
2
sinx的圖象向右平移
π
4
個單位而得到．其中正確命題的序號是______．

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