Question

已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中點(diǎn)． (1) 證明：面PAD⊥面PCD； (2) 求AC與PB所成的角； (3) 求面AMC與面BMC所成二面角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：方法一：證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂線定理得：CD⊥PD． 因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直， ∴CD⊥面PAD． 又CD面PCD， ∴面PAD⊥面PCD 因?yàn)镻A⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，0，0)B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，． 　　方法二：證明：因 由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD． 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD
(2)	方法一：解：過點(diǎn)B作BE//CA，且BE＝CA，則∠PBE是AC與PB所成的角． 連結(jié)AE，可知AC＝CB＝BE＝AE＝，又AB＝2， 所以四邊形ACBE為正方形． 由PA⊥面ABCD得∠PEB＝90° 在Rt△PEB中BE＝，PB＝， 　　方法二：解：因 所以
(3)	方法一：解：作AN⊥CM，垂足為N，連結(jié)BN． 在Rt△PAB中，AM＝MB，又AC＝CB，∴△AMC≌△BMC， ∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角． ∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC， 在Rt△PCB中，CM＝MB，所以CM＝AM． 在等腰三角形AMC中，AN·MC＝， ．∴AB＝2， 故所求的二面角為 　　方法二：解：在MC上取一點(diǎn)N(x，y，z)，則存在使 要使 為所求二面角的平面角．