Question

13．已知x∈（0，+∞）有下列各式：x+$\frac{1}{x}$≥2，x+$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{4}{{x}^{2}}$≥3，x+$\frac{27}{{x}^{3}}$=$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{27}{{x}^{3}}$≥4成立，觀察上面各式，按此規(guī)律若x+$\frac{a}{{x}^{4}}$≥5，則正數(shù)a=4⁴．

Answer 1

分析 由已知中的不等式，歸納推理得：x+$\frac{{n}^{n}}{{x}^{n}}$≥n+1，進而根據(jù)n+1=5，求出n值，進而得到a值．

解答 解：由已知中：x∈（0，+∞）時，
x+$\frac{1}{x}$≥2，x+$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{4}{{x}^{2}}$≥3，x+$\frac{27}{{x}^{3}}$=$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{27}{{x}^{3}}$≥4
…
歸納推理得：x+$\frac{{n}^{n}}{{x}^{n}}$≥n+1，
若x+$\frac{a}{{x}^{4}}$≥5，
則n+1=5，即n=4，
此時a=nⁿ=4⁴，
故答案為4⁴．

點評 本題考查的知識點是歸納推理，其中根據(jù)已知歸納推理得：x+$\frac{{n}^{n}}{{x}^{n}}$≥n+1，是解答的關鍵．