設函數(shù)f(x)＝x2＋bln(x＋1)，其中b≠0．

(1)當b＞時，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；

(2)求函數(shù)f(x)的極值點；

(3)證明對任意的正整數(shù)n，不等式＞都成立．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)由題意知，的定義域為，

　　設，其圖象的對稱軸為，．當時，，

　　即在上恒成立，當時，，

　　當時，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．

　　(Ⅱ)①由(Ⅰ)得，當時，函數(shù)無極值點．

　　②時，有兩個相同的解，時，，時，，時，函數(shù)在上無極值點．

　�、郛�時，有兩個不同解，，，

　　時，，，即，．時，，隨的變化情況如下表：

　　由此表可知：時，有惟一極小值點，當時，，，此時，，隨的變化情況如下表：

　　由此表可知：時，有一個極大值和一個極小值點；綜上所述：時，有惟一最小值點；

　　時，有一個極大值點和一個極小值點；

　　時，無極值點．

　　(Ⅲ)當時，函數(shù)，

　　令函數(shù)，則．當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又．

　　時，恒有，即恒成立．

　　故當時，有．

　　對任意正整數(shù)取，則有．

　　所以結(jié)論成立．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)＝x2＋mx(m∈R)，則下列命題中的真命題是                        (　　)．

A．任意m∈R，使y＝f(x)都是奇函數(shù)

B．存在m∈R，使y＝f(x)是奇函數(shù)

C．任意m∈R，使y＝f(x)都是偶函數(shù)

D．存在m∈R，使y＝f(x)是偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)＝x2－1＋cosx(a>0)．

(1)當a＝1時，證明：函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；

(2)若y＝f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，求正數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年四川省高三10月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

 對實數(shù)a和b，定義運算“⊕”：a⊕b＝設函數(shù)f(x)＝(x2－2)⊕(x－x2)，x∈R，若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是

A．(－∞，－2]∪            B．(－∞，－2]∪

C. ∪              D. ∪

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年黑龍江省高三上學期期末考試數(shù)學理卷 題型：解答題

、（12分）設函數(shù)f(x) ＝ x2＋bln(x＋1),

（1）若對定義域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求實數(shù)b的值；

（2）若函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；

（3）若b＝－1，證明對任意的正整數(shù)n，不等式成立；

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年湖南省十二校高三第一次聯(lián)考數(shù)學文卷 題型：填空題

設函數(shù)f(x)＝x2＋3，對任意x∈[1，＋∞)，f()＋m2f(x)≥f(x－1)＋3f(m)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　.


 

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