Question

2．如圖，邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分別是BC，DC的中點(diǎn)，G為 BF、DE的交點(diǎn)，若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow b$
（1）試用$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{CG}$；
（2）求$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CG}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，根據(jù)平面向量的線性表示與運(yùn)算法則，用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{BF}$與$\overrightarrow{CG}$；
（2）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，求出$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CG}$即可．

解答 解：（1）由題意，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$
$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$，
E、F分別是BC，DC的中點(diǎn)，G為 BF、DE的交點(diǎn)
所以G為△BCD的重心，設(shè)BD中點(diǎn)為H，則
$\overrightarrow{CG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{GH}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$；
（2）$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CG}=（{-\frac{1}{2}\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•（{-\frac{1}{3}\overrightarrow a-\frac{1}{3}\overrightarrow b}）$
=$\frac{1}{6}{\overrightarrow a^2}-\frac{1}{6}\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{3}{\overrightarrow b^2}$
=$\frac{1}{6}$${|\overrightarrow{a}|}^{2}$-$\frac{1}{6}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos60°-$\frac{1}{3}$${|\overrightarrow|}^{2}$
=$\frac{1}{6}$×4-$\frac{1}{6}$×2×2×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$×4
=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性表示與數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是綜合性題目．