在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中,a
1=1,a
2=2,且a
2n-1,a
2n,a
2n+1成等差數(shù)列,a
2n,a
2n+1,a
2n+2成等比數(shù)列,n=l,2,3,….
(Ⅰ)分別計算a
3,a
5和a
4,a
6的值;
(Ⅱ)求數(shù)列{a
n}的通項公式(將a
n用n表示);
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列

的前n項和為S
n,證明:

,n∈N*。
解:(Ⅰ)由已知得

。
(Ⅱ)

,

,…

,…
∴猜想:

,
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明之。
①當n=1時,

,猜想成立;
②當n=k(k≥1,k∈N*)時,猜想成立,即

,
那么


,


,
∴n=k+1時,猜想成立,
由①②,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理,對任意n∈N*,猜想成立;
∴當n為奇數(shù)時,

;
當n為偶數(shù)時,

;
即數(shù)列{a
n}的通項公式為

。
(Ⅲ)由(Ⅱ)得

,
顯然

;
當n為偶數(shù)時,






;
當n為奇數(shù)時,



綜上所述,

。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中,a
1=1,a
2=2,且a
2n-1,a
2n,a
2n+1成等差數(shù)列,a
2n,a
2n+1,a
2n+2成等比數(shù)列,n=1,2,3,….
(1)分別計算a
3,a
5和a
4,a
6的值;
(2)求數(shù)列{a
n}的通項公式(將a
n用n表示);
(3)設(shè)數(shù)列
{}的前n項和為S
n,證明:
Sn<,n∈N
*.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
(2011•東城區(qū)二模)在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中,a
1=2,不等式(n+1)a
n≥na
2n對任意n∈N
*都成立.
(Ⅰ)求a
2的取值范圍;
(Ⅱ)判斷數(shù)列{a
n}能否為等比數(shù)列?說明理由;
(Ⅲ)設(shè)
bn=(1+1)(1+)…(1+),
cn=6(1-),求證:對任意的n∈N
*,
≥0.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:北京模擬題
題型:解答題
在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中,a
1=2,不等式(n+1)a
n≥na
2n對任意n∈N*都成立,
(Ⅰ)求a
2的取值范圍;
(Ⅱ)判斷數(shù)列{a
n}能否為等比數(shù)列?說明理由;
(Ⅲ)設(shè)

,求證:對任意的n∈N*,

。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2012-2013學(xué)年北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校高三(上)第四次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版)
題型:解答題
在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中,a
1=2,不等式(n+1)a
n≥na
2n對任意n∈N
*都成立.
(Ⅰ)求a
2的取值范圍;
(Ⅱ)判斷數(shù)列{a
n}能否為等比數(shù)列?說明理由;
(Ⅲ)設(shè)

,

,求證:對任意的n∈N
*,

.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2011年北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版)
題型:解答題
在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中,a
1=2,不等式(n+1)a
n≥na
2n對任意n∈N
*都成立.
(Ⅰ)求a
2的取值范圍;
(Ⅱ)判斷數(shù)列{a
n}能否為等比數(shù)列?說明理由;
(Ⅲ)設(shè)

,

,求證:對任意的n∈N
*,

.
查看答案和解析>>