在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中，a
1=1，a
2=2，且a
2n-1，a
2n，a
2n+1成等差數(shù)列，a
2n，a
2n+1，a
2n+2成等比數(shù)列，n=l，2，3，…．
(Ⅰ)分別計算a
3，a
5和a
4，a
6的值；
(Ⅱ)求數(shù)列{a
n}的通項公式（將a
n用n表示）；
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列
的前n項和為S
n，證明：
，n∈N*。
解：(Ⅰ)由已知得
。
(Ⅱ)
，
，…
，…
∴猜想：
，
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明之。
①當n=1時，
，猜想成立；
②當n=k（k≥1，k∈N*）時，猜想成立，即
，
那么
，
，
∴n=k+1時，猜想成立，
由①②，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對任意n∈N*，猜想成立；
∴當n為奇數(shù)時，
；
當n為偶數(shù)時，
；
即數(shù)列{a
n}的通項公式為
。
(Ⅲ)由(Ⅱ)得
，
顯然
；
當n為偶數(shù)時，
；
當n為奇數(shù)時，
綜上所述，
。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中，a
1=1，a
2=2，且a
2n-1，a
2n，a
2n+1成等差數(shù)列，a
2n，a
2n+1，a
2n+2成等比數(shù)列，n=1，2，3，…．
（1）分別計算a
3，a
5和a
4，a
6的值；
（2）求數(shù)列{a
n}的通項公式（將a
n用n表示）；
（3）設(shè)數(shù)列
{}的前n項和為S
n，證明：
Sn＜，n∈N
*．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
（2011•東城區(qū)二模）在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中，a
1=2，不等式（n+1）a
n≥na
2n對任意n∈N
*都成立．
（Ⅰ）求a
2的取值范圍；
（Ⅱ）判斷數(shù)列{a
n}能否為等比數(shù)列？說明理由；
（Ⅲ）設(shè)
bn=(1+1)(1+)…(1+)，
cn=6(1-)，求證：對任意的n∈N
*，
≥0．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：北京模擬題
題型：解答題
在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中，a
1=2，不等式(n+1)a
n≥na
2n對任意n∈N*都成立，
（Ⅰ）求a
2的取值范圍；
（Ⅱ）判斷數(shù)列{a
n}能否為等比數(shù)列？說明理由；
（Ⅲ）設(shè)
，求證：對任意的n∈N*，
。
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：2012-2013學(xué)年北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校高三（上）第四次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版）
題型：解答題
在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中，a
1=2，不等式（n+1）a
n≥na
2n對任意n∈N
*都成立．
（Ⅰ）求a
2的取值范圍；
（Ⅱ）判斷數(shù)列{a
n}能否為等比數(shù)列？說明理由；
（Ⅲ）設(shè)
，
，求證：對任意的n∈N
*，
．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：2011年北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版）
題型：解答題
在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中，a
1=2，不等式（n+1）a
n≥na
2n對任意n∈N
*都成立．
（Ⅰ）求a
2的取值范圍；
（Ⅱ）判斷數(shù)列{a
n}能否為等比數(shù)列？說明理由；
（Ⅲ）設(shè)
，
，求證：對任意的n∈N
*，
．
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