已知在△ABC中，已知向量
m
=（sinB，sinA-2sinC），
n
=（cosA-2cosC，cosB），且
m
⊥
n
．
（1）求
sinC
sinA
的值；
（2）若∠C=∠A+
π
3
，判斷△ABC的形狀．
考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理
專題：解三角形
分析：（1）由向量和三角函數(shù)運算，變形可得；
（2）由（1）知sinC=2sinA，把C=A+
π
3
代入化簡可得
3
sin（A-
π
6
）=0，可得A=
π
6
，C=
π
2
，可判為直角三角形．
解答： 解：（1）∵
m
=（sinB，sinA-2sinC），
n
=（cosA-2cosC，cosB），
∵
m
⊥
n
，∴
m
•
n
=sinB（cosA-2cosC）+（sinA-2sinC）cosB=0，
∴cosAsinB-2sinBcosC+sinAcosB-2cosBsinC=0，
∴cosAsinB+sinAcosB=2sinBcosC+2cosBsinC
∴sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
∴
sinC
sinA
=2；
（2）由（1）知sinC=2sinA，又∠C=∠A+
π
3
，
∴sin（A+
π
3
）=2sinA，∴
1
2
sinA+
3
2
cosA=2sinA，
∴
3
2
sinA-
3
2
cosA=0，即
3
sin（A-
π
6
）=0，
∴A=
π
6
，∴C=A+
π
3
=
π
2

∴△ABC的形狀為直角三角形．
點評：本題考查解三角形，涉及向量的運算和三角形形狀的判定，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點，直線l方程為x=-
a2
c
，直線l與x軸交于P點，M，N分別為橢圓的左右頂點，已知丨MN丨=2
2
，且丨PM丨=
2
丨MF丨．
（1）求橢圓標準方程．
（2）過點P的直線交橢圓與A，B兩點，求△ABF面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（3，-4），B（6，3），C（5-m，3+m）．
（1）若點A，B，C是一個三角形的三個頂點，求實數(shù)m應滿足的條件；
（2）若△ABC是以A為直角頂點的直角三角形，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知tanα，tαnβ是方程x2-3x-3=0的兩個根，求sin2（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）-3cos2（α+β）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

e1
，
e2
夾角60°，|
e1
|=|
e2
|=1，
a
=2
e1
+
e2
，
b
=-3
e1
+2
e2
，則
a
與
b
的夾角為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
OA
=（-1，2），
OB
=（8，m），若
OA
⊥
AB
，則m=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（ω，2），
b
=（-1，1）．
（1）若|
a
|=
2
|
b
|，求ω的值；
（2）若＜
a
，
b
＞=60°，求向量
a
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a1，a2，…，an為正整數(shù)，其中至少有五個不同值，若對任意的i，j（1≤i＜j≤n），存在k，l（k≠l，且異于i與j）使得ai+aj=ak+al，則n的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為
 
．

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