Question

2．已知{a_n}是正項等差數(shù)列，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n項和S_n=$\frac{n}{2n+4}$，若b_n=（-1）ⁿ•a_n²，則數(shù)列{b_n}的前n項和T_2n=2n²+3n．

Answer 1

分析 設正項等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，由數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n項和S_n=$\frac{n}{2n+4}$，可得$\frac{1}{{a}_{1}（{a}_{1}+d）}$=$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+2d）}$=$\frac{2}{8}$，解得a₁，d．可得a_n．可得b_2n-1+b_2n，即可得出．

解答 解：設正項等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，∵數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n項和S_n=$\frac{n}{2n+4}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}（{a}_{1}+d）}$=$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+2d）}$=$\frac{2}{8}$，解得a₁=2，d=1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∴b_n=（-1）ⁿ•a_n²=（-1）ⁿ（n+1）²，
b_2n-1+b_2n=-（2n）²+（2n+1）²=4n+1．
則數(shù)列{b_n}的前n項和T_2n=$\frac{n（5+4n+1）}{2}$=2n²+3n．
故答案為：2n²+3n．

點評 本題考查了分組求和、等差數(shù)列的求和公式、數(shù)列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．