Question

9．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=mcosθ（m＞0），過點(diǎn)P（-2，-4）且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（2）若|AP|•|BP|=|BA|²，求m的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=mcosθ（m＞0），即ρ²sin²θ=mρcosθ（m＞0），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．過點(diǎn)P（-2，-4）且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．相減消去參數(shù)化為普通方程．
（2）把直線l的方程代入曲線C的方程為：t²-$\sqrt{2}$（m+8）t+4（m+8）=0．由于|AP|•|BP|=|BA|²，可得|t₁•t₂|=$（{t}_{1}-{t}_{2}）^{2}$，化為：5t₁•t₂=$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=mcosθ（m＞0），即ρ²sin²θ=mρcosθ（m＞0），可得直角坐標(biāo)方程：
y²=mx（m＞0）．
過點(diǎn)P（-2，-4）且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
消去參數(shù)化為普通方程：y=x-2．
（2）把直線l的方程代入曲線C的方程為：t²-$\sqrt{2}$（m+8）t+4（m+8）=0．
則t₁+t₂=$\sqrt{2}$（m+8），t₁•t₂=4（m+8）．
∵|AP|•|BP|=|BA|²，∴|t₁•t₂|=$（{t}_{1}-{t}_{2}）^{2}$，化為：5t₁•t₂=$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$，
∴20（m+8）=2（m+8）²，m＞0，解得m=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．