Question

已知f(x)=

3+x

1+x2

，x∈[0，3]，已知數列{a_n}滿足0＜a_n≤3，n∈N^*，且a₁+a₂+…+a₂₀₁₀=670，則f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₀）有（　�。�

• A、最大值6030
• B、最大值6027
• C、最小值6027
• D、最小值6030

Answer 1

分析：由f(

1

3

) =3，知當a1=a2=…=a2010=

1

3

時，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₀）=6030．對于函數f(x)=

3+x

1+x2

，x∈[0，3]，k=f′(

1

3

) =-

9

16

，在x=

1

3

處的切線方程為y=

3

10

(11-x)，由此能導出f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₀）≤

3

10

[11×2010-3(a1+a2+…+a2010)]=6030．

解答：解：∵f(

1

3

) =3，當a1=a2=…=a2010=

1

3

時，
f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₀）=6030，
對于函數f(x)=

3+x

1+x2

，x∈[0，3]，k=f′(

1

3

) =-

9

16

，
在x=

1

3

處的切線方程為y-3=-

9

10

(x-

1

3

)，
即y=

3

10

(11-x)，
則f(x)=

3+x

1+x2

≤

3

10

(11-x)?(x-3)(x-

1

3

)  2≤0成立，
∴0＜a_n≤3，n∈N⁺時，有f(an)≤

3

10

(11-3a n)，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₀）≤

3

10

[11×2010-3(a1+a2+…+a2010)]=6030．
故選A．

點評：本題考查數列和函數的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地運用導數的性質，恰當地進行等價轉化．