Question

【題目】已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，其中是常數(shù).

（1）求的解析式；

（2）求實數(shù)的值，使得函數(shù)，的最小值為；

（3）已知函數(shù)滿足：對任何不小于的實數(shù)，都有，其中為不小于的正整數(shù)常數(shù)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由函數(shù)是上的奇函數(shù)得出，可解出，再令，求出，利用奇函數(shù)的定義得出的表達(dá)式，從而得出函數(shù)在上的解析式；

（2）由題意得出，令，可得出，再分、、三種情況討論，分析該二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得出該二次函數(shù)的最小值為，求出的值；

（3）先求出，任取且，利用作差法證明出，由此得出，，，，再利用同向不等式的可加性可得出所證不等式成立.

（1）由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，

那么，當(dāng)時，.

當(dāng)時，，，

.也適合.

因此，；

（2）當(dāng)時，，

則，

令，則，

該二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線.

①當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，，解得，合乎題意；

②當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上取得最小值，即，整理得，解得，

均不符合題意；

③當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

此時，，不合乎題意.

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；

（3）當(dāng)時，.

當(dāng)時，，則，

整理得，解得.

任取且，

，

且，，，所以，，

，，，，

上述不等式全部相加得.