Question

7．已知M是拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，∠MFx=60°且|FM|=4．
（I）求拋物線C的方程；
（II）已知D（-1，0），過(guò)F的直線l交拋物線C與A、B兩點(diǎn)，以F為圓心的圓F與直線AD相切，試判斷圓F與直線BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （I）證明△MNF為等邊三角形，即可求拋物線C的方程；
（II）分類討論，證明F到直線BD的距離等于圓F的半徑，即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為l′：x=-$\frac{p}{2}$，過(guò)M作MN⊥l′于點(diǎn)N，連接NF，則|MN|=|FM|，
∵∠NMF=∠MFx=60°，∴△MNF為等邊三角形，
∴|NF|=4，∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（II）直線l的斜率不存在時(shí)，△ABD為等腰三角形，且|AD|=|BD|．
∴圓F與直線BD相切；
直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=k（x-1），代入拋物線方程，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂=1，∴x₁=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
直線AD的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$（x+1），即y₁x-（x₁+1）y+y₁=0，
∴R²=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+（\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}）^{2}}$，
直線BD的方程為y₂x-（x₂+1）y+y₂=0，
F到直線BD的距離d，d²=$\frac{4{{y}_{2}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}+（{x}_{2}+1）^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+（\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}）^{2}}$，
∴R²=d²，
∴R=d，
∴圓F與直線BD相切，
綜上所述，圓F與直線BD相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．