Question

13．已知數列{a_n}的前n項和S_n=2n²-19n+1，記T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．
（1）求S_n的最小值及相應n的值；
（2）求T_n．

Answer 1

分析 （1）S_n=2n²-19n+1=2$（n-\frac{19}{4}）^{2}$-$\frac{353}{8}$，利用二次函數的單調性即可得出．
（2）由S_n=2n²-19n+1，n=1時，a₁=-16．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n-21．由a_n≤0，解得n≤5．n≥6時，a_n＞0．可得n≤5時，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…+a_n）=-S_n．n≥6時，T_n=-（a₁+a₂+…+a₅）+a₆+…+a_n=-2S₅+S_n．

解答 解：（1）S_n=2n²-19n+1=2$（n-\frac{19}{4}）^{2}$-$\frac{353}{8}$，
∴n=5時，S_n取得最小值=-44．
（2）由S_n=2n²-19n+1，
∴n=1時，a₁=2-19+1=-16．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²-19n+1-[2（n-1）²-19（n-1）+1]=4n-21．
由a_n≤0，解得n≤5．n≥6時，a_n＞0．
∴n≤5時，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…+a_n）=-S_n=-2n²+19n-1．
n≥6時，T_n=-（a₁+a₂+…+a₅）+a₆+…+a_n
=-2S₅+S_n
=2n²-19n+89．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}+19n-1，1≤n≤5}\\{2{n}^{2}-19n+89，n≥6}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其前n項和公式、不等式的解法、絕對值數列求和問題，考查了分類討論方法推理能力與計算能力，屬于中檔題．