Question

1．已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A（-3，0），并且與定圓B：（x-3）²+y²=64內(nèi)切．
（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡E的方程；
（2）過M（2，1）作直線l交E于A，B兩點(diǎn)，且M恰是AB中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動(dòng)圓P和定圓B內(nèi)切于M，則動(dòng)圓的圓心P到兩點(diǎn)，即定點(diǎn)A（-3，0）和定圓的圓心B（3，0）的距離之和恰好等于定圓半徑，根據(jù)橢圓的定義，可得結(jié)論．
（2）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，然后根據(jù)它們的中點(diǎn)為M，可將坐標(biāo)間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求直線l的斜率，然后再由點(diǎn)斜式求出直線方程．

解答 解：（1）如圖，設(shè)動(dòng)圓P和定圓B內(nèi)切于M，則動(dòng)圓的圓心P到兩點(diǎn)，即定點(diǎn)A（-3，0）和定圓的圓心B（3，0）的距離之和恰好等于定圓半徑，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8．
∴點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，a=4，c=3，b=$\sqrt{7}$，
∴動(dòng)圓圓心P的軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}$=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
代入橢圓方程，作差整理可得k_AB=-$\frac{7}{8}$，
又∴直線l的方程為y-1=-$\frac{7}{8}$（x-2），
即7x+8y-22=0．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查軌跡方程的探求，點(diǎn)作差法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用兩圓的位置關(guān)系，得出動(dòng)圓的圓心P到兩定點(diǎn)A（-3，0）和定圓的圓心B（3，0）的距離之和恰好等于定圓半徑，屬于中檔題．