Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=a，a₂=b（a、b、n∈N⁺），a_n=|a_n-1-a_n-2|，n≥3
（1）若a=6，b=5，求a₅、a₇的值；
（2）是否存在正整數(shù)m，使得?a、b∈N⁺，都有a_n≥a_n+m成立？若存在，給出一個m的值，并證明你的結(jié)論，若不存在，說明理由；
（3）證明{a_n}中有無窮多個為零的項．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用,等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列與不等式的綜合

專題：證明題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）a₁=a=6，a₂=b=5，由a_n=|a_n-1-a_n-2|，n≥3，即可求得a₅、a₇的值；
（2）存在正整數(shù)m，使得?a、b∈N⁺，都有a_n≥a_n+m成立，可分別對a_n+1≤a_n與a_n+1＞a_n兩種情況討論，證明即可；
（3）根據(jù)定義，數(shù)列{a_n}必在有限項后出現(xiàn)零項．用反證法，假設數(shù)列{a_n}中沒有0，所以對任意的n，都有a_n≥1，經(jīng)證明，最后導出矛盾，從而可證數(shù)列{a_n}中有無窮多個為零的項．

解答： 解：（1）∵a₁=a=6，a₂=b=5，a_n=|a_n-1-a_n-2|，n≥3，
∴a₃=1，a₄=4，a₅=|4-1|=3，a₆=|3-4|=1，a₇=|1-3|=2；
（2）存在，如m=3時，可證a_n≥a_n+3，證明如下：
?n∈N⁺，a_n=|a_n-1-a_n-2|≥0，又當a_n+1≤a_n時，a_n+2=|a_n+1-a_n|=a_n-a_n+1≤a_n，又0≤a_n+1≤a_n，
∴a_n+3=|a_n+2-a_n+1|=

an+2-an+1 an+1-an+2

≤a_n；
當a_n+1＞a_n時，a_n+2=|a_n+1-a_n|=a_n+1-a_n⇒a_n+3=|a_n+2-a_n+1|=|（a_n+1-a_n）-a_n+1|=|-a_n|=a_n≤a_n，
∴?n∈N⁺，a_n+3≤a_n．
（3）證明如下：根據(jù)定義，數(shù)列{a_n}必在有限項后出現(xiàn)零項．用反證法，假設數(shù)列{a_n}中沒有0，所以對任意的n，都有a_n≥1，從而a_n≠a_n+1，定義符號max（a，b，c）為a、b、c中的最大者，max（a，b）為a、b中的較大者，
∵a_n+2=|a_n+1-a_n|，a_n+1≥1，a_n≥1，
∴a_n+2≤max（a_n+1，a_n），
∴max（a_n+2，a_n+1，a_n）≤max（a_n+1，a_n），又∵max（a_n+2，a_n+1，a_n）≥max（a_n+1，a_n+2），
∴max（a_n+2，a_n+1）≤max（a_n+1，a_n），
∴a_n+3=|a_n+2-a_n+1|≤max（a_n+2，a_n+1）-1≤max（a_n+1，a_n）-1，令C_n=max（a_2n-1，a_2n）≥0，n=1，2，3，…
則0＜C_n≤C_n-1-1（n=2，3，4，…），而C₁是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項C_n＜0，這與C_n≥0矛盾，從而{a_n}中必有零項，
記第一次出現(xiàn)的零項為第n項，記a_n-1=A（A≠0），則自第n項開始，每三個相鄰的項周期地取值0，A，A，即

an+3k=0 an+3k+1=A，k=0，1，2，… an+3k+2=A

所以數(shù)列{a_n}中有無窮多個為零的項．

點評：本題考查數(shù)列的應用，數(shù)列遞推關系、突出考查數(shù)列與不等式的綜合應用，考查反證法，考查抽象思維、創(chuàng)新思維、推理論證能力，屬于難題．