如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD.
(1)證明:AC⊥PB;
(2)若PC=
3
BC
,示平面PAB與平面PADC所成二面角(銳角)的余弦值.
分析:(1)通過四邊形ABCD是正方形,證明PD⊥底面ABCD,然后證明AC⊥平面PDB,即可證明;
(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,確定平面PBA的一個(gè)法向量
n
=(1,0,
2
)
,平面PDC的一個(gè)法向量
DA
=(0,0,1),利用向量的夾角公式,即可求平面PAB與平面PADC所成二面角(銳角)的余弦值.
解答:(1)證明:連接BD
∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
∵PD⊥底面ABCD,AC?底面ABCD
∴PD⊥AC,
∵BD∩PD=D,∴AC⊥平面PDB,
∵PB?平面PDB,
∴AC⊥PB;
(2)解:設(shè)BC=1,則PC=
3
,在直角△PDC中,PD=
2

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則P(
2
,0,0),A(0,0,1),B(0,1,1),
PA
=(-
2
,0,1),
PB
=(-
2
,1,1)

設(shè)
n
=(x,y,z)是平面PBA的一個(gè)法向量,由
n
PA
=0
n
PB
=0
,可得
-
2
x+z=0
-
2
x+y+z=0
,可取
n
=(1,0,
2
)

DA
是平面PDC的一個(gè)法向量,且
DA
=(0,0,1)
∴cos
DA
n
=
DA
n
|
DA
||
n
|
=
2
3
=
6
3

∴平面PAB與平面PADC所成二面角(銳角)的余弦值為
6
3
點(diǎn)評(píng):本題考查線線垂直,考查面面角,解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定方法,正確利用向量法解決空間角問題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點(diǎn).求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點(diǎn).
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點(diǎn)F是PB中點(diǎn).
(Ⅰ)若E為BC中點(diǎn),證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點(diǎn),證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
(1)求點(diǎn)A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大小;當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

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