Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點．
（1）求證：BD₁∥平面C₁DE；
（2）求三棱錐D-D₁BC的體積．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明線線平行，從而可得線面平行；
（2）利用等體積VD-D1BC=VD1-DBC，即可求得三棱錐D-D₁BC的體積．

解答：（1）證明：連接D₁C交DC₁于F，連接EF，
在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面四邊形DCC₁D₁為矩形，
∴F為D₁C的中點．
又E為BC的中點，∴EF∥D₁B．
∴BD₁∥平面C₁DE．…（6分）
（2）解：連接BD，VD-D1BC=VD1-DBC，
又△BCD的面積為S=

1

2

×2×2=2．
故三棱錐D-D₁BC的體積VD1-DBC=

1

3

•S△BCD•D1D=

1

3

×2×1=

2

3

．…（12分）

點評：本題考查線面平行，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．