Question

1．2016年3月，韓國(guó)著名圍棋棋手李世石與谷歌A1phaGo的人機(jī)大戰(zhàn)賽在韓國(guó)首爾舉行，比賽中采取五局分勝負(fù)的方式（即下完五局），獲勝者將獲得100萬美元的獎(jiǎng)勵(lì)，假設(shè)在每局比賽中AlphaGo獲勝的概率是$\frac{2}{3}$，李世石獲勝的概率是$\frac{1}{3}$．
（I）求比賽結(jié)果為谷歌A1ph8Go以4：1獲勝的概率；
（Ⅱ）若將比賽規(guī)則改為一方獲得三局勝利后就贏得并結(jié)束比賽．設(shè)X表示比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式能求出比賽結(jié)果為谷歌A1ph8Go以4：1獲勝的概率．
（2）由題意X的可能取值為3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）∵比賽中采取五局分勝負(fù)的方式（即下完五局），
假設(shè)在每局比賽中AlphaGo獲勝的概率是$\frac{2}{3}$，李世石獲勝的概率是$\frac{1}{3}$，
∴比賽結(jié)果為谷歌A1ph8Go以4：1獲勝的概率：
P=${C}_{5}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{5}{243}$．
（2）由題意X的可能取值為3，4，5，
P（X=3）=$（\frac{1}{3}）^{3}+（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）×\frac{1}{3}$+${C}_{3}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{10}{27}$，
P（X=5）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}$+${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{27}$，
∴X的分布列為：

X	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{27}$	$\frac{8}{27}$

EX=$3×\frac{1}{3}+4×\frac{10}{27}+5×\frac{8}{27}$=$\frac{107}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．