Question

4．在單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是B₁D₁的中點，如圖建立空間直角坐標系．
（1）求證：B₁C∥平面ODC₁；
（2）求異面直線B₁C與OD夾角的余弦值；
（3）求直線B₁C到平面ODC₁的距離．

Answer 1

分析 （1）求出平面ODC₁的一個法向量，證明$\overrightarrow n.\overrightarrow{{B_1}C}=0$，即可證明：B₁C∥平面ODC₁；
（2）設$\overrightarrow{{B_1}C}$、$\overrightarrow{DO}$分別為直線B₁C與OD的方向向量，則由$\overrightarrow{{B_1}C}=（-1，0，-1）$，$\overrightarrow{DO}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1）$得cos＜$\overrightarrow{{B_1}C}$，$\overrightarrow{DO}$＞，即可求異面直線B₁C與OD夾角的余弦值；
（3）B₁C到平面ODC₁的距離$d=\frac{{|{\overrightarrow{DC}.\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

解答 （1）證明：設平面ODC₁的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n.\overrightarrow{DO}=0\\ \overrightarrow n.\overrightarrow{D{C_1}}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0\\ y+z=0\end{array}\right.$，令y=1，則z=-1，x=1
所以$\overrightarrow n=（1，1，-1）$．
又$\overrightarrow{{B_1}C}=（-1，0，-1）$．從而$\overrightarrow n.\overrightarrow{{B_1}C}=0$
所以B₁C∥平面ODC₁．
（2）解：設$\overrightarrow{{B_1}C}$、$\overrightarrow{DO}$分別為直線B₁C與OD的方向向量，
則由$\overrightarrow{{B_1}C}=（-1，0，-1）$，$\overrightarrow{DO}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1）$得cos＜$\overrightarrow{{B_1}C}$，$\overrightarrow{DO}$＞=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
所以兩異面直線B₁C與OD的夾角θ的余弦值為$cosθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（3）由（1）知平面ODC₁的一個法向量為$\overrightarrow n=（1，1，-1）$，
又$\overrightarrow{DC}=（0，1，0）$
所以B₁C到平面ODC₁的距離$d=\frac{{|{\overrightarrow{DC}.\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查空間向量的運用，考查線面平行、線線角，點到平面的距離，正確運用向量方法是關鍵．