Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P在面對角線AC上運動，給出下列命題：
①D₁P∥平面A₁BC₁
②D₁P⊥BD
③平面PDB₁⊥平面A₁BC₁
④三棱錐A₁-BPC₁的體積不變．
則其中所以正確的命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理，面面垂直的判定定理與三棱錐體積輪換公式對①②③④四個選項逐一分析判斷即可．

解答： 解：①，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁A∥C₁B，D₁A?平面A₁BC₁，C₁B?平面A₁BC₁，
∴D₁A∥平面A₁BC₁，
同理可證，D₁C∥平面A₁BC₁，D₁A∩D₁C=D₁，
∴平面D₁AC∥平面A₁BC₁，又D₁P?平面D₁AC，
∴D₁P∥平面A₁BC₁，故①正確；
②，當(dāng)點P為AC與BD的交點時，BD⊥平面BDD₁，D₁P?平面BDD₁，這時，D₁P⊥BD，除此之外，D₁P不與BD垂直，故②錯誤；
③，∵DB₁在平面A₁B₁C₁D₁上的射影為B₁D₁，B₁D₁⊥A₁C₁（正方形的兩條對角線互相垂直），
DB₁在平面BB₁C₁C的射影為B₁C，B₁C⊥BC₁（正方形的兩條對角線互相垂直），
由三垂線定理的逆定理可知，B₁D⊥A₁C₁，B₁D⊥BC₁，A₁C₁∩BC₁=C₁，
∴B₁D⊥平面A₁BC₁，B₁D?平面PDB₁，
∴平面PDB₁⊥平面A₁BC₁，故③正確；
④，設(shè)正方體的邊長為1，點B到平面A₁BC₁的距離就是點B到平面A₁ACC₁的距離，為

1

2

BD=

2

2

，S△A1PC1=

1

2

A₁C₁•h=

1

2

×

2

×1=

2

2

，
∵VA1-BPC1=VB-A1PC1=

1

3

S△A1PC1•

1

2

BD=

1

6

×(

2

2

)2=

1

12

，為定值，故④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系及體積，突出考查面面平行的判定定理與性質(zhì)定理，考查面面垂直的判定定理，考查幾何體的體積運算，屬于難題．