Question

16．設連續(xù)函數(shù)f（x）滿足f（x）=x-2${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，求f（x）．

Answer 1

分析 根據(jù)${∫}_{0}^{1}$f（x）dx是常數(shù)，得出f（x）是一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法即可求出f（x）的解析式．

解答 解：∵f（x）為連續(xù)函數(shù)，且f（x）=x-2${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
不妨設2${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=b（b為常數(shù)），
∴f（x）=x-b，
∴f（x）=x-2${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=x-2${∫}_{0}^{1}$（x-b）dx
=x-2$（\frac{1}{2}{x}^{2}-bx）{|}_{0}^{1}$=x-1+2b，
∴-b=-1+2b，解得b=$\frac{1}{3}$，
∴f（x）=x-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的應用問題，考查了定積分簡單應用，是中檔題．