Question

15．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC，點E是BC上一點，且平面BB₁C₁C⊥平面AEB₁．
（1）求證：AE⊥BC；
（2）求證：A₁C∥平面AEB₁．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點F，則AF⊥BC，證明E，F(xiàn)重合，即可證明：AE⊥BC；
（2）由（1）可知E是BC的中點，連接A₁B，A₁B∩AB₁=O，則OE∥A₁C，利用線面平行的判定定理證明：A₁C∥平面AEB₁．

解答 證明：（1）取BC的中點F，則AF⊥BC，
∵AF⊥BB₁，BC∩BB₁=B，
∴AF⊥平面BB₁C₁C，
∵AF?平面AFB₁，
∴平面BB₁C₁C⊥平面AFB₁，
∵平面BB₁C₁C⊥平面AEB₁，∴E，F(xiàn)重合，
∴AE⊥BC；
（2）由（1）可知E是BC的中點，連接A₁B，A₁B∩AB₁=O，
則OE∥A₁C，
∵A₁C?平面AEB₁，OE?平面AEB₁，
∴A₁C∥平面AEB₁．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查線面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．