Question

設(shè)f（x）=log

1

2

(10-ax)，a為常數(shù)，若f（3）=-2．
（1）求a的值；
（2）求使f（x）≥0的x的取值范圍；
（3）若對于區(qū)間[3，4]上的每一個x的值，不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接令x=3代入函數(shù)f（x）的表達式即可求出a；
（2）f（x）=log

1

2

(10-2x)，f（x）≥0可化為log

1

2

(10-2x)≥0，解此對數(shù)不等式即可；
（3）不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立等價于m＜log

1

2

(10-2x)-(

1

2

)x恒成立，令g（x）=log

1

2

(10-2x)-(

1

2

)x，求m＜g（x）_最小值即可．

解答： 解：（1）f（3）=log

1

2

(10-3a)=-2，∴10-3a=(

1

2

)-2=4，∴a=2．
（2）f（x）=log

1

2

(10-2x)，
f（x）≥0可化為log

1

2

(10-2x)≥0，
∴0＜10-2x≤1，∴

9

2

≤x＜5，
f（x）≥0的x的取值范圍為{x|

9

2

≤x＜5}；
（3）不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立等價于log

1

2

(10-2x)＞(

1

2

)x+m恒成立，也即m＜log

1

2

(10-2x)-(

1

2

)x恒成立，
令g（x）=log

1

2

(10-2x)-(

1

2

)x，∴m＜g（x）_最小值即可，
因為函數(shù)10-2x遞減，函數(shù)y=log

1

2

x遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)y=log

1

2

(10-2x)單調(diào)遞增，
又因為函數(shù)y=-(

1

2

)x單調(diào)遞增，∴g（x）=log

1

2

(10-2x)-(

1

2

)x單調(diào)遞增，
∴g（x）在區(qū)間[3，4]上的最小值g(x)最小值=g(3)=log

1

2

(10-6)-(

1

2

)3=-2-

1

8

=-

17

8

，
∴m＜-

17

8

．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，同時，不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求最值來處理．